结论：付款说明在事先没有协议的情况下，其有效性取决于多个因素，包括付款说明的内容、双方的行为以及相关法律规定。一般来说，如果付款说明内容明确、双方无异议且不违反法律规定，那么它通常是有效的。
分析角度一：付款说明的内容
- 明确性：付款说明需要明确记录付款的金额、时间、方式以及付款的目的或原因。如果这些信息都清晰无误，那么付款说明在法律上就更有可能被认定为有效。
- 完整性：除了基本信息外，付款说明最好还能包含双方的身份信息、签署日期等，以增加其法律效力和可追溯性。
分析角度二：双方的行为
- 接受与认可：如果对方在收到付款说明后没有提出异议，并且按照付款说明的内容执行了（如接受了付款），那么这通常被视为对付款说明的认可，从而增强了其有效性。
- 后续行为：双方在付款后的行为，如是否继续按照付款说明的内容进行交易或合作，也会影响付款说明的法律效力。如果双方后续行为与付款说明一致，那么付款说明的有效性就更高。
分析角度三：相关法律规定
- 合同法的原则：根据《中华人民共和国民法典》中关于合同的规定，即使事先没有正式的书面协议，只要双方通过行为或其他方式表达了合意，并且这种合意不违反法律、行政法规的强制性规定，那么合同关系仍然可以成立。付款说明在这种情况下可以视为双方合意的一种表现。
- 证据规则：在法律纠纷中，付款说明可以作为证据来证明双方之间的交易关系或付款事实。如果付款说明内容真实、合法，且能够与其他证据相互印证，那么它通常会被法院采纳作为定案的依据。
建议与注意事项：
- 保留证据：为了确保付款说明的有效性，建议你妥善保管好付款说明的原件或复印件，以及与之相关的其他证据（如转账记录、聊天记录等）。
- 及时沟通：如果对方对付款说明有异议或提出修改意见，建议你及时与对方沟通并达成一致意见。必要时可以签订补充协议来明确双方的权利和义务。
- 法律咨询：如果你对付款说明的有效性或相关法律问题存在疑虑或不确定之处，建议你及时向我咨询或寻求其他专业法律人士的帮助。
可能法律后果：
- 如果付款说明被认定为有效，那么它将对双方产生法律约束力。任何一方违反付款说明的内容都可能面临法律责任和赔偿义务。
- 如果付款说明被认定为无效或存在争议，那么双方可能需要通过协商、调解或诉讼等方式来解决纠纷。这可能会耗费双方的时间和精力，并可能带来不必要的经济损失。