核心结论：两人打架导致一人大拇指打断，这属于故意伤害行为，可能涉及治安管理处罚或刑事犯罪，同时受害者有权要求赔偿，具体处理方式如下：
刑事或行政责任方面
- 伤情鉴定：首先要对受伤者的大拇指伤情进行鉴定，这是确定后续处理方式的关键依据。如果经鉴定构成轻伤及以上，那么打人者就涉嫌故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
- 不构成轻伤的情况：如果伤情鉴定结果不构成轻伤，那么打人者的行为属于违反治安管理的行为。依据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。有结伙殴打、伤害他人等情形的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。
民事赔偿方面
- 赔偿范围：无论打人者是否承担刑事或行政责任，受害者都有权要求其承担民事赔偿责任。赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。如果因伤致残，还包括残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费，以及因康复护理、继续治疗实际发生的必要的康复费、护理费、后续治疗费等。
- 赔偿方式：双方可以自行协商赔偿事宜，达成赔偿协议。如果协商不成，受害者可以向人民法院提起民事诉讼，要求打人者赔偿损失。在诉讼过程中，需要提供相关证据，如医疗记录、费用单据、收入证明等，以证明自己的损失情况。
处理流程建议
- 及时报警：打架事件发生后，应立即向公安机关报案，让警方介入调查，固定相关证据，如现场照片、证人证言等。
- 保存证据：受害者要保存好与受伤治疗相关的所有证据，如病历、诊断证明、医疗费用发票等，以便后续主张赔偿时使用。
- 配合调查：双方都要积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事情经过。
如果还有其他疑问，比如具体的赔偿计算方式、证据收集要点等，都可以继续向我咨询。