公立医院是否肯做亲子鉴定，关键在于该医院是否具备司法鉴定资质并严格按照司法程序进行。以下是对这一问题的详细分析：

1. 鉴定机构资质：

   • 司法亲子鉴定必须由具备司法行政部门审批、获得《司法鉴定许可证》的正规司法鉴定机构进行，且其鉴定项目需包含法医物证鉴定。许多公立医院虽然医疗业务精湛，但并未取得司法鉴定资质，因此在这类医院进行的亲子鉴定通常不能用于司法用途，如落户、移民、财产继承、诉讼等。

2. 委托程序与样本采集：

   • 司法亲子鉴定的委托程序严格，通常由公检法机关、律师事务所等机构委托，或在诉讼过程中由相关当事人依程序申请。个人随意在医院自行委托的鉴定，往往不符合司法程序要求。
   • 样本采集也需在鉴定机构现场由专业人员采集，以确保样本的真实性、完整性和可追溯性。公立医院若未遵循这些程序，其出具的鉴定报告可能不具备法律效力。

3. 公立医院特殊情况：

   • 尽管公立医院普遍不具备司法鉴定资质，但若某家公立医院确实取得了司法鉴定许可证，并严格按照司法鉴定的程序和规范进行亲子鉴定，那么其出具的鉴定报告就具有法律效力。

4. 选择鉴定机构的建议：

   • 在选择进行亲子鉴定的机构时，应事先了解其是否具有相关的司法鉴定许可证和专业的鉴定人员。这是确保鉴定结果准确性和合法性的关键。
   • 可以询问机构是否接受公检法机关、律师事务所等机构的委托，以及是否遵循严格的样本采集和鉴定流程。

法律后果与风险提示：

• 若在未取得司法鉴定资质的公立医院进行亲子鉴定，其结果可能无法被司法机关认可，导致无法达到预期的法律效果，如落户、诉讼等。
• 因此，在选择鉴定机构时，务必谨慎甄别，确保鉴定结果的准确性和合法性。

总结与建议：

• 公立医院是否肯做亲子鉴定，并出具具有法律效力的报告，取决于其是否具备司法鉴定资质并严格按照司法程序进行。
• 在选择鉴定机构时，建议咨询当地司法行政部门或律师，了解哪些机构具备合法的司法鉴定资质，并遵循严格的委托程序和样本采集流程。

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