行政机关本身不能开办企业公司，且行政机关的工作人员（特别是公务员）也通常不允许开办或参与企业公司的经营活动。这一结论主要基于以下法律分析和考虑：
法律禁止性规定：
- 根据《中华人民共和国公务员法》第五十九条的规定，公务员不得从事或者参与营利性活动，也不得在企业或者其他营利性组织中兼任职务。这一条款直接禁止了公务员开办或参与企业公司的行为，旨在确保公务员专注于公共服务，避免商业活动与公共职责产生利益冲突。
- 同时，《行政机关公务员处分条例》第二十七条也明确规定了公务员若违规从事营利性活动，将面临警告、记过、记大过、降级、撤职直至开除等行政处分。这进一步体现了法律对公务员行为的严格约束和惩处机制。
行政机关的性质与职责：
- 行政机关是国家权力机关的执行机关，负责执行国家法律、法规和政策，管理国家事务和社会公共事务。其性质决定了行政机关必须保持中立性和公正性，不能直接参与市场经营活动，以免干扰市场秩序和损害公共利益。
- 如果行政机关开办企业公司，可能会引发利益冲突、权力寻租等问题，损害行政机关的公信力和形象，甚至可能触犯法律。
实际案例与警示：
- 实践中，已经有多起公职人员违规经商办企业的典型案例被公开通报。这些案例中的公职人员因违规从事营利性活动而受到了严厉的处分，包括开除党籍、开除公职等。这些案例不仅彰显了法律对公务员违规行为的零容忍态度，也起到了警示教育作用。
特殊情况与例外：
- 尽管存在一般性的禁止规定，但也有一些特殊情况和地区性政策差异需要注意。例如，退休公务员在规定期限内也不能投资与原工作业务直接相关的企业；处级以上领导干部的配偶、子女不得在其管辖范围内从事可能与公共利益发生冲突的经商办企业活动等。然而，这些特殊情况并不构成对一般禁止规定的实质性突破，而是基于特定情境下的有限例外，且都有严格的法律程序和限制条件。
法律建议：
- 对于行政机关而言，应严格遵守相关法律法规，不得开办或参与企业公司的经营活动。如果行政机关需要与企业合作或提供服务，应通过合法的采购、招标等方式进行，并确保合作过程的透明度和公正性。
- 对于行政机关的工作人员（特别是公务员）而言，应严格遵守《中华人民共和国公务员法》等相关法律法规的规定，不得从事或参与营利性活动。如果工作人员有创业或投资的意愿，应在离职后或符合相关规定的情况下进行，并避免利用原职务的影响谋取不正当利益。
可能法律后果：
- 如果行政机关或其工作人员违反相关规定开办或参与企业公司的经营活动，可能会面临法律制裁和行政处分。对于行政机关而言，可能会损害其公信力和形象；对于工作人员而言，可能会面临警告、记过、记大过、降级、撤职直至开除等行政处分，甚至可能触犯刑法而承担刑事责任。
综上所述，行政机关本身不能开办企业公司，且行政机关的工作人员也通常不允许开办或参与企业公司的经营活动。这是为了保护公共利益、维护市场公平竞争和行政机关队伍的廉洁性而作出的法律规定。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。