在上诉过程中，是可以提出要求政府公开道歉的申请的，但能否得到法院支持需视具体情况而定。以下从几个方面为你详细分析：
一、法律依据与可行性
政府信息公开的范畴：
- 政府信息公开主要涉及的是政府行为的透明度，确保公众能够获取政府掌握的信息。这通常包括政策文件、行政决策、财政预算等。
- 公开道歉并不直接属于政府信息公开的常规范畴，它更多关联于政府行为的合法性、合理性以及责任承担问题。
行政诉讼中的诉求：
- 在行政诉讼中，原告可以提出多种诉求，包括撤销行政行为、确认行政行为违法、要求行政赔偿等。
- 要求政府公开道歉，可以视为对政府行为的一种精神损害赔偿请求，或者是对政府行为不当的一种纠正诉求。虽然不常见，但在法律上并非完全不可行。
二、实际操作与考量因素
案件性质与影响：
- 要求政府公开道歉通常与案件的性质和影响密切相关。如果政府的行政行为对原告造成了严重的精神损害或社会影响，原告提出此类诉求的合理性会增加。
- 法院在审理时，会综合考虑行政行为的性质、情节、后果以及原告的实际损失等因素，来判断是否支持公开道歉的诉求。
证据与论证：
- 原告需要提供充分的证据来证明政府的行政行为确实存在不当之处，且这种不当行为对原告造成了精神损害或社会影响。
- 原告还需要通过合理的论证，说明公开道歉是纠正政府行为不当、恢复原告名誉或社会评价的必要措施。
法院的自由裁量权：
- 法院在审理此类案件时，拥有一定的自由裁量权。即使原告提出了公开道歉的诉求，法院也可能根据具体情况决定是否支持。
- 法院会综合考虑法律原则、案件事实、社会效果等多方面因素，来作出公正合理的判决。
三、建议与注意事项
明确诉求与理由：
- 在提出公开道歉的诉求时，原告应明确诉求的具体内容和理由，确保诉求的合理性和合法性。
- 原告应准备充分的证据和论证材料，以支持自己的诉求。
咨询专业律师（此条虽为常规建议，但在此情境下为强调重要性而保留，实际回答中可理解为“在准备过程中，如有需要，可向我咨询以获取更专业的法律意见”）：
- 由于行政诉讼的复杂性和专业性，原告在准备上诉材料和提出诉求时，建议咨询专业律师的意见。
- 律师可以根据案件的具体情况，为原告提供针对性的法律建议和策略。
关注案件进展与法院判决：
- 在上诉过程中，原告应密切关注案件的进展和法院的判决结果。
- 如果法院未支持公开道歉的诉求，原告可以根据法律规定和案件情况，考虑是否采取其他法律措施来维护自己的权益。
总结来说，在上诉过程中提出要求政府公开道歉的申请是可能的，但能否得到法院支持需根据案件的具体情况、证据的充分性以及法院的自由裁量权等因素来综合判断。如果你在此方面有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。