刑事立案申请后，公安机关通常会在7日内决定是否立案，特殊情况下可延长至30日。具体分析如下：

1. 一般情况下的立案审查期限
   根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第175条，公安机关接受案件后，经审查认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，经县级以上公安机关负责人批准，予以立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微不需要追究刑事责任，或者具有其他依法不追究刑事责任情形的，经县级以上公安机关负责人批准，不予立案。一般情况下，公安机关会在7日内完成审查并作出决定。

2. 特殊情况下的立案审查期限
   对于重大疑难复杂案件，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至30日。这里的“重大疑难复杂案件”通常指涉及多人、跨地区、涉案金额巨大或社会影响较大的案件。

3. 立案后的通知义务
   公安机关决定立案的，应当制作《立案决定书》，并在3日内通知控告人（报案人、举报人）。决定不予立案的，应当制作《不予立案通知书》，并在3日内送达控告人，同时说明不予立案的理由。

4. 控告人的救济途径
   如果控告人对不予立案决定不服，可以在收到《不予立案通知书》后7日内向作出决定的公安机关申请复议。公安机关应当在收到复议申请后7日内作出决定，并书面通知控告人。控告人对复议决定仍不服的，可以在收到复议决定书后7日内向上一级公安机关申请复核。上一级公安机关应当在收到复核申请后7日内作出决定。

温馨提示：如果您已经提交了刑事立案申请，但超过上述期限仍未收到公安机关的答复，可以主动联系办案机关了解进展。如有需要，也可以直接向我咨询，我会结合您的具体情况提供更详细的法律建议。