结论：欠警察一千元并逃跑，这一行为本身不直接构成刑事犯罪，但可能面临行政处罚，且若该欠款与案件相关，逃跑可能影响案件处理并带来更严重的法律后果。
详细分析：
欠款性质与法律后果：
- 如果这一千元是因违反治安管理或其他行政法规而被罚款，那么逃跑可能构成对行政处罚的逃避。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》等相关规定，逃避行政处罚可能会面临更严厉的处罚，如加处罚款、强制执行等。
- 如果这一千元是借款或与案件无关的民事债务，那么逃跑本身不构成刑事犯罪，但债权人（包括警察作为个人时）有权通过民事诉讼途径追讨债务。
逃跑行为的法律评价：
- 逃跑行为本身，如果不涉及刑事犯罪，通常不会直接导致刑事责任。然而，如果逃跑是为了逃避法律制裁，如逃避刑事处罚或行政处罚，那么这种行为可能被视为对法律权威的挑战，并可能影响后续的法律处理。
- 在特定情况下，如逃跑行为干扰了司法程序或执法活动，可能构成妨碍公务等犯罪，但这需要具体分析逃跑的情境和后果。
与案件相关的特殊情况：
- 如果这一千元欠款与某个刑事案件或行政案件直接相关，如作为赃款、罚款或赔偿款等，那么逃跑可能构成对案件处理的阻碍。在这种情况下，逃跑者可能面临更严重的法律后果，包括被追捕、拘留甚至刑事处罚。
- 特别是如果逃跑行为被认定为“逃避侦查、审判”等，可能构成《中华人民共和国刑法》中的相关犯罪，如窝藏、包庇罪（如果涉及帮助逃跑者）或脱逃罪（如果逃跑者本身是被羁押的犯罪嫌疑人或被告人）。但需要注意的是，脱逃罪通常适用于已被依法逮捕、关押的犯罪嫌疑人、被告人或罪犯。
建议：
- 面对欠款问题：应积极与相关部门或个人沟通，寻求合理的解决方案，如分期还款、协商减免等。避免采取逃避或对抗的态度，以免加重法律后果。
- 面对法律制裁：如果因违法行为而面临法律制裁，应主动配合执法机关的工作，接受相应的处罚。逃跑不是解决问题的办法，反而可能带来更严重的法律后果。
- 寻求法律帮助：如果对法律程序或自身权益有疑问，建议及时咨询专业律师，以获取准确的法律意见和帮助。
总结：欠警察一千元并逃跑的行为，其法律后果取决于欠款的性质、逃跑的情境以及是否与案件相关。在大多数情况下，逃跑可能构成对行政处罚的逃避或影响案件处理，但不一定直接构成刑事犯罪。然而，为了避免不必要的法律风险和后果，建议积极面对问题并寻求合理的解决方案。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。