针对市政府开车司机酒驾的处理问题，核心结论需结合法律身份、行为性质及后果综合判断，具体分析如下：

1. 法律身份不影响酒驾定性，但可能影响处理程序
   无论司机是否为市政府工作人员，酒驾行为本身均违反《道路交通安全法》第91条。若血液酒精含量≥20mg/100ml且＜80mg/100ml，构成饮酒驾驶，将面临暂扣6个月驾驶证+1000-2000元罚款+一次记满12分的处罚；若≥80mg/100ml，则构成危险驾驶罪，需承担拘役1-6个月+罚金+吊销驾驶证+5年内不得重考的刑事责任。
   特殊点：若司机为公务员或事业单位人员，根据《公职人员政务处分法》第41条，可能额外面临警告、记过、降级、撤职或开除的政务处分，且处分结果需通报其单位。

2. 单位内部管理责任需同步审查
   市政府作为用人单位，若存在以下情形可能被追责：

   • 未定期组织交通安全培训；
     
   • 明知司机有酒驾前科仍安排其执行公务；
     
   • 事故发生后未及时上报或协助调查。
     依据：《安全生产法》第106条，单位主要负责人未履行安全管理职责的，可处上一年年收入30%-80%罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。

3. 民事赔偿责任不因身份豁免
   若酒驾导致交通事故，司机需承担全部民事赔偿责任（包括医疗费、误工费、车辆损失等）。若单位存在过错（如强制要求出车），可能根据《民法典》第1191条承担相应补充责任，但最终责任主体仍为司机本人。

建议行动：

• 司机应立即配合交警调查，如实陈述事实；
  
• 市政府需启动内部调查，评估是否需调整司机岗位；
  
• 若涉及刑事案件，建议委托律师介入，争取从轻情节（如自首、认罪认罚）。
  

如有进一步细节（如是否造成事故、司机具体职务等），可补充说明后为您深入分析。