核心结论：在购买烟花爆竹炸伤且无发票、销售商不承认的情况下，可通过收集其他证据证明购买关系和产品缺陷，依据《民法典》侵权责任编要求销售商赔偿；若证据不足，也可尝试通过协商、投诉、诉讼等途径解决，但赔偿难度会增大。以下是具体分析：
一、法律关系与赔偿依据
根据《民法典》第一千二百零三条，因产品存在缺陷造成他人损害的，被侵权人可以向产品的生产者请求赔偿，也可以向产品的销售者请求赔偿。产品缺陷由生产者造成的，销售者赔偿后，有权向生产者追偿。因此，若能证明烟花爆竹存在缺陷且该缺陷导致了您的伤害，销售商或生产者应承担赔偿责任。
二、证据收集与证明责任
购买关系证明：
- 尽管无发票，但可尝试收集其他证据证明购买关系，如支付记录（微信、支付宝转账记录）、证人证言（一同购买或目击购买过程的人）、销售商的宣传资料（如广告、传单）、现场照片或视频（显示销售商的摊位或店铺）等。
- 若销售商是固定店铺，可尝试调取店铺周边的监控录像，或向市场监管部门查询该店铺的注册信息及经营记录。
产品缺陷证明：
- 保留炸伤的烟花爆竹残骸，作为产品存在缺陷的直接证据。
- 若可能，可委托专业机构对烟花爆竹进行质量鉴定，证明其存在缺陷。
- 收集同类产品存在缺陷的案例或报道，作为间接证据。
伤害与产品缺陷的因果关系证明：
- 保留医疗记录、诊断证明、伤情照片等，证明伤害的存在及程度。
- 若可能，可委托医疗机构或司法鉴定机构出具意见，证明伤害与烟花爆竹缺陷之间的因果关系。
三、解决途径
协商：
- 尝试与销售商协商，出示收集到的证据，要求其承认责任并赔偿。
- 若销售商拒绝协商或协商无果，可考虑其他途径。
投诉：
- 向当地市场监管部门投诉，提供收集到的证据，要求其介入调查并调解。
- 市场监管部门有权对销售商进行处罚，并可能促成双方达成赔偿协议。
诉讼：
- 若协商和投诉均无果，可向法院提起诉讼，要求销售商或生产者赔偿。
- 在诉讼过程中，需充分出示证据，证明购买关系、产品缺陷、伤害及因果关系。
- 法院将根据证据和法律规定作出判决，要求责任方赔偿。
四、注意事项
证据保全：
- 在收集证据过程中，需注意证据的保全，避免证据丢失或损坏。
- 对于关键证据，如烟花爆竹残骸、医疗记录等，需妥善保管。
时效性：
- 注意诉讼时效，根据《民法典》规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
专业协助：
- 若对法律程序或证据收集不熟悉，可寻求法律专业人士的协助，如律师或法律援助机构。
在处理此类案件时，证据的收集和证明责任是关键。尽管无发票会增加一定的难度，但通过其他证据的收集和证明，仍有可能成功维权。如有进一步疑问或需要具体法律帮助，请直接向我咨询。