送养申请涉及将子女送给他人抚养的法律行为，在送养给第三代以内同辈旁系血亲时，申请书需包含以下核心内容，以确保合法性与有效性：

1. 申请人及收养人基本信息

   • 申请人（生父母）信息：需写明姓名、身份证号、住址、联系方式，并说明与被送养人的关系（如父母）。
     
   • 收养人（旁系血亲）信息：需写明姓名、身份证号、住址、联系方式，并明确与申请人的亲属关系（如兄弟姐妹、堂表兄弟姐妹等），需具体到“第三代以内同辈旁系血亲”（例如：申请人的堂兄/表妹）。
     
   • 被送养人信息：需写明姓名、性别、出生日期、身份证号（如有），并说明其与申请人、收养人的关系。

2. 送养原因及合法性说明

   • 送养原因：需详细说明送养的客观原因（如生父母无力抚养、重大疾病、家庭变故等），需真实、具体，避免模糊表述。
     
   • 合法性依据：需引用《民法典》第1093条，明确送养符合“生父母有特殊困难无力抚养”的情形，且收养人符合《民法典》第1098条规定的收养条件（如无子女或只有一名子女、有抚养能力、无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录等）。

3. 被送养人意愿（如适用）

   • 若被送养人已满8周岁，需征得其本人同意，并在申请书中注明其意愿（如“被送养人XXX表示愿意与收养人XXX共同生活”），或附被送养人签署的同意书。

4. 收养人抚养能力及意愿说明

   • 需说明收养人的经济状况、健康状况、婚姻状况（如已婚需配偶同意）、住房条件等，证明其具备抚养能力。
     
   • 需明确收养人自愿收养被送养人，并承诺善待、抚养其至成年。

5. 其他必要内容

   • 家庭情况说明：如收养人已有子女，需说明子女数量及对被送养人的接纳态度。
     
   • 协议内容：可简要说明送养双方是否已就抚养、教育、财产等事项达成协议（如无协议，可注明“双方未就其他事项作出约定”）。
     
   • 申请事项：明确请求民政部门或法院批准送养与收养登记。

示例模板（供参考）：

送养申请书
申请人（生父母）：XXX，男/女，XXXX年XX月XX日生，身份证号：XXXXXXXXXXXXXXXXXX，住址：XXXXXXXXXXXXXXXXXX。
收养人（旁系血亲）：XXX，男/女，XXXX年XX月XX日生，身份证号：XXXXXXXXXXXXXXXXXX，住址：XXXXXXXXXXXXXXXXXX，与申请人关系：申请人的堂兄/表妹（第三代以内同辈旁系血亲）。
被送养人：XXX，男/女，XXXX年XX月XX日生，身份证号：XXXXXXXXXXXXXXXXXX，系申请人之子/女。
送养原因：申请人因患重大疾病（附诊断证明），无力抚养被送养人，且无其他亲属可代为抚养。
收养人条件：收养人无子女，有稳定收入（附收入证明），身体健康（附体检报告），住房条件良好（附房产证明），其配偶同意收养。
被送养人意愿：被送养人已满8周岁，表示愿意与收养人共同生活（附被送养人签署的同意书）。
申请事项：请求民政部门批准收养登记，将XXX送养给XXX抚养。
申请人（签字）：XXX
收养人（签字）：XXX
日期：XXXX年XX月XX日

注意事项：

1. 申请书需由申请人、收养人签字，并附身份证、户口本、亲属关系证明、送养原因证明（如疾病诊断书、贫困证明等）、收养人抚养能力证明（如收入证明、房产证明、无犯罪记录证明等）。
   
2. 若被送养人已满8周岁，需其本人签字确认；若未满8周岁，需注明其年龄。
   
3. 送养需经民政部门登记或法院裁判生效，仅签订协议无法产生法律效力。
   

如有具体细节需进一步确认（如收养人婚姻状况、被送养人年龄等），可直接向我咨询，我会结合实际情况补充说明。