结论：在互殴受伤且医生建议留院观察的情况下，对方私自外出，是否仍需承担住院相关的责任，需分情况讨论，主要取决于其外出行为是否导致损害后果扩大或影响治疗，以及是否存在过错。

分析如下：

1. 从侵权责任角度分析：

   • 若对方私自外出并未导致你损害后果的扩大，例如，其外出期间你并未因此遭受新的伤害或病情并未因此恶化，那么从侵权责任的角度来看，对方可能无需因外出行为本身承担额外的赔偿责任。但对方仍需对其互殴行为给你造成的初始伤害承担侵权责任，包括医疗费、误工费等合理损失。
   • 若对方私自外出导致你损害后果扩大，如你因担心其病情或因其他原因受到精神损害，或者其外出导致你无法及时得到必要的治疗或照顾，从而病情恶化，那么对方可能需对其外出行为导致的扩大损害承担赔偿责任。

2. 从医疗合同角度分析：

   • 若对方作为患者与医院之间存在医疗合同关系，医生建议留院观察是基于其病情的需要。对方私自外出可能构成对医疗合同的违反，医院有权根据合同约定或法律规定要求其承担相应的违约责任。但这一责任主要限于对方与医院之间，并不直接涉及你作为第三方的权益。不过，如果医院因对方外出而未能履行好对你的治疗或照顾义务（如在你需要紧急救治时因对方外出而无法及时联系到医护人员），医院可能需承担一定的责任，但这与对方的外出行为之间的因果关系需要具体分析。

3. 从过错责任角度分析：

   • 对方私自外出是否构成过错，需结合具体情况判断。如果医生明确告知留院观察的必要性及外出可能带来的风险，而对方仍坚持外出，那么其可能存在过错。这种过错可能成为你要求其承担相应责任（如精神损害赔偿等）的依据之一。

建议：

• 如果你因对方私自外出而遭受了额外的损害或损失，建议收集相关证据（如医疗记录、证人证言等），以证明对方的外出行为与你的损害后果之间存在因果关系。
• 你可以与对方协商解决赔偿事宜，如果协商不成，可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。
• 在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导，确保你的权益得到充分保障。

可能法律后果：

• 如果对方的外出行为被认定存在过错且导致你损害后果扩大，对方可能需承担相应的赔偿责任，包括但不限于医疗费、误工费、精神损害赔偿等。
• 如果医院因对方外出而未能履行好对你的治疗或照顾义务，医院也可能需承担一定的责任，但这需要具体分析医院的行为与你的损害后果之间的因果关系。