结论：累犯取保候审、投案自首、退赃退赔且存在严重疾病的情况下，是否可以不起诉，需根据具体案情和法律规定综合判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
累犯与不起诉的关系：
- 累犯定义：根据《刑法》第六十五条，累犯是指被判处有期徒刑以上刑罚的犯罪分子，刑罚执行完毕或者赦免以后，在五年以内再犯应当判处有期徒刑以上刑罚之罪的。
- 累犯的刑事责任：累犯通常被视为具有更严重的社会危害性和人身危险性，因此，在量刑时一般会从重处罚。但这并不意味着累犯一定不能不起诉。
取保候审与不起诉的关系：
- 取保候审定义：取保候审是刑事诉讼中的一种强制措施，允许犯罪嫌疑人或被告人在一定条件下暂时离开羁押场所，但需遵守相关规定，如随传随到等。
- 取保候审与不起诉：取保候审本身并不直接决定是否起诉。它只是刑事诉讼过程中的一个环节，用于保障诉讼的顺利进行。是否起诉取决于案件的具体事实、证据以及法律规定。
投案自首与不起诉的关系：
- 投案自首定义：投案自首是指犯罪嫌疑人在犯罪后自动投案，并如实供述自己的罪行的行为。
- 投案自首的刑事责任：根据《刑法》第六十七条，对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。这表明，投案自首是可能影响不起诉决定的一个重要因素。
退赃退赔与不起诉的关系：
- 退赃退赔定义：退赃退赔是指犯罪嫌疑人或被告人将犯罪所得的财物退还给被害人或赔偿被害人损失的行为。
- 退赃退赔的刑事责任：退赃退赔通常被视为犯罪嫌疑人或被告人认罪悔罪的表现，有助于减轻其刑事责任。在量刑时，法院可能会考虑这一因素，但同样，它并不直接决定是否起诉。
严重疾病与不起诉的关系：
- 严重疾病的影响：如果犯罪嫌疑人或被告人患有严重疾病，可能影响其接受刑事处罚的能力。在这种情况下，法院可能会考虑其身体状况，但严重疾病本身并不构成不起诉的直接理由。
- 特殊程序：根据《刑事诉讼法》的相关规定，对于患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的，可以取保候审。但这并不等同于不起诉。
综合分析：
- 是否不起诉需综合考虑案件的具体事实、证据、法律规定以及犯罪嫌疑人或被告人的认罪态度、退赃退赔情况、身体状况等多方面因素。
- 投案自首、退赃退赔等情节可能有助于减轻刑事责任，甚至在某些情况下可能影响不起诉的决定，但并非决定性因素。
- 累犯身份通常会增加不起诉的难度，但并非绝对排除不起诉的可能性。
- 严重疾病本身不构成不起诉的直接理由，但可能作为量刑时的考虑因素之一。
建议：
- 如果您或您认识的人面临类似情况，建议尽快咨询专业律师，以便根据具体案情和法律规定制定合适的辩护策略。
- 在处理此类案件时，应全面收集证据，积极配合司法机关的工作，并充分展示认罪悔罪的态度和行动。
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