结论：劳动仲裁撤执行后，若对方不执行签订的协议，您通常不能再就同一事项直接起诉，但可以通过申请恢复执行或就协议中的新争议事项提起诉讼等方式来维护自己的权益。以下是对此问题的详细分析：

一、劳动仲裁撤执行后的法律状态

在劳动仲裁过程中，如果双方达成了和解协议，并且一方申请撤回了仲裁申请或执行申请，那么仲裁程序或执行程序就会相应终止。此时，双方应当按照和解协议的内容履行各自的义务。

二、对方不执行协议的法律后果及应对措施

1. 申请恢复执行：

   • 如果和解协议是在仲裁裁决或法院判决的基础上达成的，并且该裁决或判决已经具有法律效力，那么当对方不履行和解协议时，您可以向原仲裁机构或法院申请恢复执行原裁决或判决。这是因为和解协议本身并不具有强制执行力，但其基础是具有法律效力的裁决或判决。

2. 就协议争议提起诉讼：

   • 如果和解协议是双方自行协商达成的，并未经过仲裁或法院确认，那么当对方不履行时，您不能直接申请恢复执行原仲裁裁决或法院判决。但您可以就和解协议中的争议事项向法院提起诉讼，要求对方履行协议或承担违约责任。不过，需要注意的是，这种情况下提起的诉讼与原劳动仲裁案件是不同的法律关系，需要重新立案和审理。

3. 特殊情况下的处理：

   • 如果和解协议中包含了新的争议解决方式（如调解、仲裁等），并且双方同意按照该方式解决争议，那么当对方不履行时，您可以按照协议中的约定方式寻求救济。
   • 另外，如果对方的不履行行为构成了欺诈、胁迫等违法行为，您还可以考虑向公安机关报案或寻求其他法律途径的救济。

三、法律建议

1. 保留证据：

   • 在达成和解协议时，务必确保协议内容明确、具体，并且双方签字或盖章确认。同时，保留好与和解协议相关的所有证据材料，如仲裁裁决书、法院判决书、和解协议文本、沟通记录等。

2. 及时行动：

   • 一旦发现对方不履行和解协议，应尽快采取行动。如果是申请恢复执行，应在法定期限内向原仲裁机构或法院提出申请；如果是就协议争议提起诉讼，也应在诉讼时效期间内向法院提起诉讼。

3. 寻求专业帮助：

   • 在处理此类法律问题时，建议咨询专业律师的意见。律师可以根据您的具体情况和当地法律法规，为您提供更具体、更专业的法律建议和帮助。

最后，劳动仲裁撤执行后对方不执行签订的协议是一个复杂的法律问题，需要根据具体情况和当地法律法规来具体分析。如果您在此方面遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。