有权提起行政诉讼的公民死亡后，其近亲属有权继续提起诉讼。这一规定主要依据《中华人民共和国行政诉讼法》第二十五条，以下从多个角度为您详细分析：

一、近亲属的范围

根据法律规定，“近亲属”包括配偶、父母、子女、兄弟姐妹、祖父母、外祖父母、孙子女、外孙子女，以及其他具有扶养、赡养关系的亲属。这些近亲属在提起行政诉讼时，需要提供与已故公民之间的亲属关系证明文件，以及公民的死亡证明材料，以证实自己的身份和提起诉讼的合法性。

二、提起诉讼的条件

近亲属在继承诉讼权利后，需满足一定的条件方能提起诉讼：

1. 诉讼行为能力：近亲属必须具备诉讼行为能力，即能够独立理解并参与诉讼过程。
2. 法定程序：近亲属需按照法律规定的程序进行，如提交必要的证明材料，并按照法院的要求参与诉讼活动。

三、诉讼过程中的特殊情况

1. 诉讼中止：如果在行政诉讼的审理过程中，申请人不幸去世，法院通常会中止诉讼程序，等待继承人表明是否愿意继续参加诉讼。
2. 诉讼承接：若继承人决定继续，他们将承接申请人原有的诉讼权利和义务，包括提供证据、参加庭审等，以确保诉讼的顺利进行。
3. 诉讼终结：如果申请人没有近亲属或者近亲属明确表示放弃诉讼权利，那么该行政诉讼案件将会依法终结。

四、实际案例与法律建议

实际案例：假设某公民因行政机关的违法行为受到损害，有权提起行政诉讼。但在诉讼过程中，该公民不幸去世。此时，其配偶、父母、子女等近亲属可以依法继承诉讼权利，继续提起诉讼，要求行政机关承担相应的法律责任。

法律建议：

1. 及时准备材料：近亲属在决定提起诉讼后，应尽快准备亲属关系证明文件和死亡证明材料，以便及时向法院提交。
2. 了解诉讼程序：近亲属应了解行政诉讼的程序和要求，确保自己能够按照法律规定的程序进行诉讼活动。
3. 寻求专业帮助：如果近亲属对诉讼程序或法律条款不熟悉，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。

综上所述，当有权提起行政诉讼的公民死亡后，其近亲属有权继续提起诉讼，但需满足法定条件和程序。这一规定不仅保障了诉讼权利的延续，也体现了法律对公民权益的全面保护。如果您或您的亲友遇到类似情况，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。