工厂与劳动者签订劳动协议（劳动合同）是合法的，且是工厂的法定义务。以下从多个角度为你详细分析：
法律规定与工厂义务
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。如果已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，工厂应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。这一规定明确了工厂在用工初期即需履行签订劳动合同的法定责任，是保障劳动者权益的重要法律基础。
不签订劳动合同的法律后果
支付双倍工资：
- 如果工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，工厂需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。这一条款旨在惩罚工厂的违法行为，并补偿劳动者因未签合同可能遭受的损失。
视为订立无固定期限劳动合同：
- 如果工厂自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，根据同一法律的第十四条第三款，将自动视为双方已订立无固定期限劳动合同。无固定期限劳动合同对工厂的用工管理构成一定限制，增加了其解雇员工的难度和成本。
特殊情况处理
- 在特定情况下，如劳动者拒绝签订书面劳动合同，且工厂已书面通知终止劳动关系，则工厂无需支付经济补偿。但即便如此，工厂仍需依法支付劳动者实际工作时间的劳动报酬。
劳动者的权益与应对措施
- 权益：劳动者有权要求工厂签订书面劳动合同，并享有劳动合同中约定的各项权益，如工资、福利、工作时间、休息休假等。
- 应对措施：
- 主动要求：劳动者应主动要求工厂签订劳动合同，并在签订后妥善保管合同原件或复印件作为维权依据。
- 投诉举报：若遭遇工厂拒签劳动合同的情况，劳动者可向当地劳动监察部门投诉举报，以寻求法律援助和维护自己的合法权益。
- 法律途径：劳动者还可以通过申请劳动仲裁或提起诉讼等法律途径来维护自己的权益。
实际案例与启示
- 案例：某工厂未与劳动者签订书面劳动合同，劳动者在工作一段时间后要求工厂支付双倍工资并补订合同。工厂拒绝后，劳动者向当地劳动监察部门投诉并申请劳动仲裁。最终，劳动仲裁委员会裁决工厂支付劳动者双倍工资并补订书面劳动合同。
- 启示：工厂应严格遵守法律规定，及时与劳动者签订书面劳动合同，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。同时，劳动者也应增强法律意识，主动维护自己的合法权益。
综上所述，工厂与劳动者签订劳动协议（劳动合同）是合法的且是法定义务。如果工厂未履行此义务，将面临法律制裁和支付双倍工资等不利后果。因此，无论是从遵守法律法规的角度还是出于保护劳动者权益的考虑，工厂都应积极履行签订劳动合同的义务。如果你有任何关于劳动工伤或劳动仲裁的法律问题，都可以直接向我咨询。