结论前置：在《中华人民共和国民法典》及相关司法解释的规定下，调解离婚后，孩子的抚养权是可以依法进行变更的。这既可以通过父母双方的协议实现，也可以通过诉讼途径由法院裁决。

一、双方协议变更抚养权

1. 法律依据：

   • 根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十七条，父母双方如就变更子女抚养关系达成一致，并形成书面协议，该协议具有法律效力，人民法院将予以支持。

2. 操作建议：

   • 父母双方在协商变更抚养权时，应明确约定变更后的抚养人、抚养方式及抚养费用等关键条款，并签署书面协议。
   • 为确保协议的合法性和有效性，建议双方对协议进行公证，虽然公证不是必须的步骤，但它能增强协议的法律效力，减少后续纠纷的可能性。

二、一方起诉变更抚养权

在特定情形下，如一方要求变更子女抚养关系，可通过向法院提起诉讼的方式实现。以下情形法院将予以支持：

1. 严重疾病或伤残：

   • 与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女。例如，长期住院治疗导致无法履行抚养义务的情况。

2. 不尽抚养义务或虐待行为：

   • 直接抚养方存在不履行抚养义务、虐待子女或其行为对子女身心健康造成不利影响的情况。这包括但不限于长期忽视孩子的生活和教育需求、实施体罚或精神虐待等。

3. 子女意愿：

   • 已满八周岁的子女明确表示愿意随另一方生活，且该方具备抚养能力。法院将尊重孩子的意愿，并根据实际情况作出判决。

4. 其他正当理由：

   • 包括但不限于直接抚养方的生活环境发生重大变化、工作性质改变导致无法陪伴孩子等情形。这些都需要结合具体证据和事实来判断。

三、变更抚养权的法律程序

• 协议变更流程：

  1. 双方协商并达成一致意见。
  2. 签订书面变更抚养权协议书，明确权利义务。
  3. 可选择公证以增强协议效力。

• 诉讼变更流程：

  1. 起诉：准备起诉状及证据材料，向有管辖权的法院提交。起诉状应包含原被告信息、诉讼请求、事实与理由等。
  2. 立案：法院审查后，若符合立案条件，则受理案件并通知缴费。
  3. 审理：安排庭审，双方当事人参与，陈述观点，质证证据。
  4. 判决：法院依据庭审情况和证据，作出是否变更抚养权的判决。

四、实际应用中的注意事项

• 在考虑变更抚养权时，应优先考虑子女的最佳利益，确保其身心健康和稳定成长环境。
• 协议变更虽简便快捷，但需确保协议的合法性和有效性，避免后续纠纷。
• 诉讼变更则需充分准备证据，以证明变更的必要性和合理性。例如，医疗证明、证人证言、孩子意愿表达的书面材料等都是重要的证据。

在实际操作中，如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供更详细的法律建议和指导。