结论：手机租期逾期后，给紧急联系人发短信是否违法，需根据具体情况判断，一般而言，若未侵犯紧急联系人合法权益且未违反相关法律规定，则不构成违法；但若存在骚扰、侵犯隐私等情形，则可能违法。
分析说明：
合法情形：
- 在手机租赁合同中，若明确约定了租期逾期后，出租方有权通过合理方式（包括联系紧急联系人）进行催告或提醒，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么出租方在租期逾期后给紧急联系人发短信，通常被视为合法行为。
- 若紧急联系人作为承租方的联系人，在承租方逾期未支付租金或履行其他合同义务时，出租方为了维护自身权益，通过短信方式向紧急联系人了解承租方的情况或进行催告，且未对紧急联系人造成不必要的困扰或侵犯其合法权益，这种行为一般也是合法的。
违法情形：
- 侵犯隐私权：如果出租方在未经紧急联系人同意的情况下，擅自将其个人信息（如手机号码）用于非合同目的（如发送广告、骚扰信息等），则可能侵犯紧急联系人的隐私权，构成违法行为。
- 骚扰行为：若出租方频繁、恶意地向紧急联系人发送短信，干扰其正常生活，这种行为可能构成骚扰，违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》等相关法律法规中关于禁止骚扰他人的规定。
- 违反合同约定：如果租赁合同中明确禁止出租方在租期逾期后联系紧急联系人，或者对联系方式、联系频率等有具体限制，而出租方违反了这些约定，那么其行为可能构成违约，虽然不一定直接违法，但可能需要承担违约责任。
法律建议：
- 出租方：在签订租赁合同时，应明确约定租期逾期后的处理方式，包括是否可以联系紧急联系人、联系方式和频率等。在行使权利时，应遵守法律法规和合同约定，尊重紧急联系人的合法权益，避免过度干扰或侵犯其隐私。
- 紧急联系人：如果认为出租方的行为侵犯了自己的合法权益，可以收集相关证据（如短信记录、通话记录等），向相关部门投诉或寻求法律帮助。同时，也可以与承租方沟通，了解情况并寻求解决方案。
后续行动指引：
- 若您作为出租方或紧急联系人，遇到此类问题，建议首先查阅租赁合同中的相关条款，了解双方的权利和义务。
- 若合同中没有明确约定或存在争议，可以咨询专业律师（即我，李娜律师，专注于涉外纠纷、遗产继承、房产纠纷等领域），获取更具体的法律建议和帮助。
- 在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。