结论前置：立案后，无论犯罪嫌疑人是否逃避侦查或审判，只要案件已经进入刑事诉讼程序，原则上均不受追诉时效期限的限制，司法机关可以依法进行追诉。不过，具体情形还需结合法律条款和实际情况来详细分析。
详细分析：
追诉时效的基本概念：
- 追诉时效是刑法规定的对犯罪分子追究刑事责任的有效期限。根据《中华人民共和国刑法》第八十七条的规定，不同法定最高刑的犯罪，其追诉时效期限也不同，从五年到二十年不等。若二十年后认为必须追诉的，还需报请最高人民检察院核准。
立案对追诉时效的影响：
- 一旦案件被立案侦查，就进入了刑事诉讼程序。根据《中华人民共和国刑法》第八十八条的规定，在人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或者在人民法院受理案件以后，逃避侦查或者审判的，不受追诉期限的限制。这意味着，立案后，无论犯罪嫌疑人是否逃避，司法机关都可以随时对其进行追诉，因为立案意味着刑事诉讼程序的正式启动，追诉时效因诉讼程序的启动而中断。
特殊情况下的处理：
- 如果被害人在追诉期限内提出控告，而人民法院、人民检察院、公安机关应当立案而不予立案的，根据《中华人民共和国刑法》第八十八条的规定，也不受追诉期限的限制。这体现了法律对被害人权益的保护，确保了司法公正。
实际案例与法律应用：
- 在实际案例中，一旦案件被立案，司法机关会依法进行侦查、起诉和审判，不受追诉时效的限制。例如，如果某人因涉嫌犯罪被公安机关立案侦查，即使他在立案后没有逃避侦查，司法机关仍然可以在任何时候对其进行追诉，只要案件在刑事诉讼程序内。
法律建议：
- 对于已经立案的案件，犯罪嫌疑人应积极配合调查，履行相关法律义务，以避免不必要的法律后果。逃避侦查或审判只会加重法律责任，不利于问题的解决。
- 如果被害人在追诉期限内发现犯罪行为并提出了控告，但相关机关未予立案，被害人可以向上一级机关申诉或寻求法律援助，以维护自己的合法权益。
可能的后果：
- 如果犯罪嫌疑人逃避侦查或审判，一旦被捕获或自首，将面临更严厉的法律制裁，因为逃避行为本身就构成了对法律秩序的挑战。
- 对于已经立案但长期未结的案件，司法机关会依法进行追诉，不受追诉时效的限制。犯罪嫌疑人不能因时间的推移而逃避法律责任。
综上所述，立案后犯罪嫌疑人无论是否逃避侦查或审判，均不存在所谓的“追诉期”问题。因为立案意味着刑事诉讼程序的正式启动，司法机关将依法追究犯罪嫌疑人的刑事责任。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。