结论：父亲去世后，母亲是否有义务偿还其债务，主要取决于债务的性质以及母亲是否继承了父亲的遗产。一般来说，如果债务是父亲的个人债务且母亲未继承遗产，母亲无需偿还；但如果债务属于夫妻共同债务或母亲继承了遗产，则母亲可能需要承担相应的偿还责任。

详细分析：

1. 个人债务与夫妻共同债务的区分：

   • 个人债务：如果债务是父亲在婚姻关系存续期间以个人名义所负，且未用于家庭共同生活或共同生产经营，那么该债务应视为父亲的个人债务。在这种情况下，除非母亲作为共同借款人或担保人，否则母亲无需承担偿还责任。
   • 夫妻共同债务：如果债务是父亲与母亲在婚姻关系存续期间共同所负，或者虽然以父亲个人名义所负，但用于家庭共同生活或共同生产经营，那么该债务应视为夫妻共同债务。在这种情况下，即使父亲去世，母亲作为共同债务人，仍需承担连带清偿责任。

2. 遗产继承与债务清偿：

   • 继承遗产的情况：如果母亲继承了父亲的遗产，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，母亲应在继承遗产的实际价值范围内清偿父亲依法应当缴纳的税款和债务。这意味着，如果遗产价值不足以完全清偿债务，母亲只需用遗产的实际价值来偿还；超出部分，除非母亲自愿，否则无强制偿还责任。
   • 放弃继承的情况：如果母亲选择放弃继承父亲的遗产，那么她同样无需承担父亲的债务。此时，债务将通过父亲的遗产进行清偿，如果遗产不足以清偿全部债务，剩余部分将无法得到偿还。

3. 特殊情况下的责任划分：

   • 担保责任：如果母亲曾为父亲的债务提供担保，那么在父亲无法偿还债务时，母亲可能需要按照担保合同的约定承担相应的担保责任。
   • 债务合法性：在判断母亲是否需要承担父亲债务时，还需考察债务的合法性和合规性。如果债务涉及非法活动或违反法律法规，那么母亲无需承担此类债务的偿还责任。

建议与指导：

• 在处理此类问题时，建议母亲首先明确债务的性质，即是否属于夫妻共同债务或父亲的个人债务。
• 如果债务属于夫妻共同债务，母亲应了解自己的法律地位和责任范围，依法合理处理债务问题。
• 如果母亲继承了父亲的遗产，应在遗产价值范围内承担债务清偿责任，并保留好相关证据以备不时之需。
• 如果母亲对债务情况存在疑问或无法处理，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和指导。

综上所述，父亲去世后母亲是否有义务偿还其债务，需根据债务性质、遗产继承情况以及特殊身份情况等多方面因素进行综合判断。母亲应明确自己的法律地位和责任范围，依法合理处理债务问题。