针对您的情况，首先明确结论：在离婚后发现孩子非亲生且已赢得相关官司，但对方在起诉前后转移了财产的情况下，您可以通过法律途径追回被转移的财产，并可能要求对方承担相应的法律责任。
一、法律背景与依据
《民法典》关于夫妻共同财产的规定：
- 根据《民法典》的相关规定，夫妻在婚姻关系存续期间所得的财产，为夫妻的共同财产，归夫妻共同所有。若对方在婚姻关系存续期间或离婚前后擅自转移夫妻共同财产，这是违法的行为。
《民法典》关于离婚后损害赔偿的规定：
- 若因对方的行为（如隐瞒孩子非亲生的事实）导致离婚，且对方存在过错，您有权请求损害赔偿，包括精神损害赔偿和物质损害赔偿。
《民法典》关于撤销赠与或追回财产的规定：
- 如果对方将财产赠与给第三人，且该赠与行为损害了您的合法权益，您可以在知道或应当知道撤销事由之日起一年内行使撤销权，追回被赠与的财产。
二、具体法律建议
收集证据：
- 首要任务是收集对方转移财产的证据，包括银行转账记录、房产过户记录、车辆过户记录等。这些证据将有助于您在后续的法律程序中证明对方的行为。
- 同时，保留好之前赢得官司的相关法律文书，如判决书、调解书等，以证明您与对方之间的法律关系及对方的过错。
提起诉讼或申请执行：
- 若对方转移的财产尚未被第三人合法取得，您可以向法院提起诉讼，要求确认对方转移财产的行为无效，并追回被转移的财产。
- 若对方转移的财产已被第三人合法取得，但第三人明知或应知该财产为夫妻共同财产而仍接受赠与的，您可以向法院提起撤销权之诉，要求撤销该赠与行为，并追回财产。
- 若您已获得判决或调解书确认对方应支付您一定金额的赔偿或分割财产，但对方未履行，您可以向法院申请强制执行，法院在执行过程中有权查封、扣押、冻结对方的财产。
考虑刑事责任：
- 在某些情况下，如果对方转移财产的行为构成犯罪（如拒不执行判决、裁定罪），您可以向公安机关报案，要求追究对方的刑事责任。
三、可能的法律后果
财产追回：
- 如果您能够提供充分的证据证明对方转移了财产，且该财产仍可追回，法院将支持您的诉求，判决对方返还被转移的财产。
损害赔偿：
- 除了追回被转移的财产外，您还有权要求对方承担因离婚和对方过错行为给您造成的损害赔偿，包括精神损害赔偿和物质损害赔偿。
刑事责任：
- 如果对方的行为构成犯罪，将面临刑事处罚，如有期徒刑、罚金等。
四、实际操作中的注意事项
- 及时行动：发现对方转移财产后，应尽快采取行动，以免财产被进一步转移或隐匿。
- 专业协助：由于法律程序复杂且涉及专业法律知识，建议您寻求专业律师的协助，以确保您的权益得到充分保护。
最后，如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。 我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和解决方案。