分公司注销后，其义务由总公司承担，这一结论具有明确的法律依据。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、法律依据
《中华人民共和国公司法》第十四条：
- 具体条款：公司可以设立分公司。设立分公司，应当向公司登记机关申请登记，领取营业执照。分公司不具有法人资格，其民事责任由公司承担。
- 解读：此条款明确了分公司的法律地位，即作为总公司的附属机构，分公司不具备独立承担民事责任的能力。因此，分公司注销后，其先前所签订的合同义务或其他民事责任，自然应由总公司来承担。
《中华人民共和国民法典》第七十四条：
- 具体条款：法人可以依法设立分支机构。法律、行政法规规定分支机构应当登记的，依照其规定。分支机构以自己的名义从事民事活动，产生的民事责任由法人承担；也可以先以该分支机构管理的财产承担，不足以承担的，由法人承担。
- 解读：此条款进一步强调了分支机构（包括分公司）的民事责任归属问题。即使分支机构以自己的名义进行民事活动并产生义务，当分支机构的财产不足以清偿义务时，最终的责任仍需由法人（即总公司）来承担。
二、责任承担方式
- 首先尝试以分公司财产承担：在分公司注销后，若存在未了结的义务，应首先尝试以分公司管理或掌握的财产来承担责任。这有助于减轻总公司的负担，并体现分公司作为独立经营实体的部分责任。
- 总公司补充承担：若分公司管理的财产不足以承担全部责任，则总公司需对剩余责任进行承担。这是基于分公司不具有独立法人资格，其民事责任最终应由总公司来兜底的原则。
三、实际操作与注意事项
清算程序：
- 在分公司注销前，总公司应确保分公司进行了合法的清算程序，包括清理债权债务、处理剩余财产等。这有助于明确分公司的财务状况，避免后续产生不必要的法律纠纷。
合同义务处理：
- 分公司注销后，其先前所签订的合同并未失效。这些合同义务应当由总公司继续履行，或者与合同相对方协商变更、解除合同。总公司在处理分公司注销后的合同义务时，应秉持诚信原则，确保合同相对方的合法权益得到保障。
法律风险防范：
- 总公司在承担分公司注销后的义务时，应注意防范法律风险。例如，对于分公司存在的违法违规行为或未了结的诉讼案件，总公司应积极应对并妥善处理，以避免自身陷入法律纠纷。
四、案例说明
以A公司与B分公司为例。假设B分公司在经营过程中与C公司签订了一份货物供应合同，并在合同履行过程中注销。此时，C公司有权要求A公司作为总公司继续按照合同约定供应货物或承担相应违约责任。A公司应依法进行清算，接收B分公司的资产、债权和债务，并继续履行合同义务或与C公司协商解决方案，以确保C公司的合法权益得到保障。
综上所述，分公司注销后其义务由总公司承担是基于《中华人民共和国公司法》和《中华人民共和国民法典》的明确规定。在实际操作中，总公司应严格按照法律法规的要求处理分公司的义务问题，以确保自身的合法权益和信誉不受损害。如果您在分公司注销或相关义务承担方面遇到任何法律问题，可以直接向我咨询。