结论：遗嘱中写明银行存款由指定人管理，指定人不可以私自将钱转到自己名下。这一行为可能构成违法，甚至犯罪，具体取决于行为的性质和后果。
法律背景与解释：
遗嘱的法律效力：遗嘱是遗嘱人生前在法律允许的范围内，按照法律规定的方式对其遗产或其他事务所作的个人处理，并于遗嘱人死亡时发生效力的法律行为。遗嘱一旦成立并生效，即具有法律约束力，遗嘱继承人或受遗赠人必须按照遗嘱的内容来执行。
管理人的职责：如果遗嘱中指定了某人对银行存款进行管理，这通常意味着该人被赋予了管理和监督遗产使用的职责，而非拥有遗产的所有权。管理人应当按照遗嘱的意图和法律规定，谨慎、忠实地履行管理职责，确保遗产的安全和完整，并按照遗嘱的指示进行分配或使用。
私自转账的法律后果：
- 民事责任：如果管理人私自将银行存款转到自己名下，这可能构成对遗嘱的违反和对遗产的侵占。遗嘱继承人或其他利害关系人有权要求管理人返还侵占的遗产，并可能要求管理人承担因此造成的损失赔偿责任。
- 刑事责任：在严重的情况下，如果管理人的行为构成犯罪（如侵占罪、盗窃罪等），则可能面临刑事处罚。这取决于行为的性质、金额大小以及是否构成犯罪的其他要件。
法律建议：
- 对于遗嘱指定人：作为遗嘱指定的管理人，应当严格遵守遗嘱的指示和法律规定，谨慎、忠实地履行管理职责。不得私自将遗产转到自己名下或用于其他非遗嘱指示的目的。
- 对于遗嘱继承人或其他利害关系人：如果发现管理人有私自转账等违法行为，应当及时收集证据并寻求法律帮助。可以向法院提起诉讼，要求管理人返还侵占的遗产并承担赔偿责任。在必要时，也可以向公安机关报案，追究管理人的刑事责任。
可能的其他情况：
- 如果遗嘱中对于银行存款的管理和使用有特别的规定或限制（如需要经过特定程序或获得特定人的同意才能使用），管理人应当严格遵守这些规定和限制。
- 如果遗嘱存在争议或不明确之处，管理人应当谨慎行事，并在必要时寻求法律意见或咨询专业人士的意见，以避免因误解或误操作而引发法律纠纷。
总之，遗嘱中写明银行存款由指定人管理，并不意味着指定人可以私自将钱转到自己名下。管理人应当严格遵守遗嘱的指示和法律规定，履行好自己的管理职责。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。