如果行政复议机关在法定期限内不回复，申请人可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
确认法定期限是否已过：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政复议机关应当自受理申请之日起六十日内作出行政复议决定。若情况复杂，经批准可适当延长，但延长期限最多不超过三十日。因此，若超过上述期限仍未收到答复，即构成“逾期未作出决定”的情形。
- 申请人应仔细核对提交复议申请的日期及行政机关的受理时间，计算是否已超过法定60日（或延长后的90日）期限。
主动联系行政复议机关：
- 在确认法定期限已过且未收到回复后，申请人可以通过书面函件或电话向复议机关询问案件进展，要求说明延迟原因并催促尽快处理。
- 保留好发送书面函件的凭证，如邮政快递底单等，以备后续可能的法律程序之需。
向上级机关或监察部门反映：
- 若联系复议机关后仍未得到解决，申请人可以向复议机关的上级主管部门或同级监察机关提交书面材料，请求督促办理。
- 上级机关或监察部门有权对下级机关的行政行为进行监督，并可以责令复议机关限期作出复议决定。
提起行政诉讼：
- 法律依据：根据《行政诉讼法》的相关规定，公民认为行政行为侵犯其权益时，可依法提起诉讼。若复议机关逾期未作任何处理（既未受理也未驳回），申请人可以直接起诉原行政行为；若复议机关已受理但未在法定期限内作出决定，申请人可以将复议机关列为共同被告。
- 操作建议：
- 准备起诉状及相关证据材料，包括复议申请书、提交凭证、催促函等；
- 向有管辖权的法院立案庭递交材料；
- 法院将审查是否符合起诉条件，符合则予以登记立案。
寻求法律帮助：
- 若对法律程序不熟悉，申请人可以向我咨询，我会根据案件的具体情况，提供针对性的法律意见和指导，包括梳理案件事实、分析法律关系、指导证据收集、文书撰写等诉讼准备工作。
行动建议：
- 在采取上述措施前，建议申请人再次确认复议申请的材料是否完整、准确，以及是否已正式提交至有管辖权的行政机关，并保留好相关凭证。
- 若决定提起行政诉讼，务必注意起诉期限，一般应自知道或者应当知道复议机关不作为之日起六个月内提出，但具体起诉期限可能因不同情形而有所不同，需仔细核对法律规定。
面对行政复议机关不回复的情况，申请人有多种法律途径可以维护自己的权益。希望以上建议能对您有所帮助，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。