关于暂予监外执行决定如何通知公安机关的问题，这是一个涉及刑事诉讼执行流程的重要环节。以下我将根据相关法律规定和实际操作流程，为您详细解答：
一、决定机关与通知发出方
首先，需要明确的是，暂予监外执行的决定是由监狱（针对已决犯）或看守所（针对未决犯及余刑较短的已决犯）作出的。在作出决定后，由这些机关负责发出通知。
二、通知的具体流程
病情诊断与评估：
- 对于需要保外就医的罪犯，监狱或看守所会委托省级政府指定的医院进行诊断，并开具相应的证明文件。这是确保罪犯确实符合暂予监外执行条件的重要步骤。
内部审核程序：
- 监狱或看守所会组织评审委员会，结合罪犯的病情、刑期以及社会危险性等因素进行集体评议，形成是否批准暂予监外执行的建议。
正式决定与制作文书：
- 经审批通过后，监狱或看守所会制作《暂予监外执行决定书》。这份文书会明确执行期限、监管要求等关键内容，是后续执行和监管的重要依据。
通知公安机关：
- 在制作《暂予监外执行决定书》的同时，监狱或看守所会通过正式渠道（如书面通知、电子文书等）将决定内容通知给罪犯居住地的公安机关。这一步骤是为了确保公安机关能够及时了解罪犯的暂予监外执行情况，并配合进行后续的监管工作。
交付执行与社区矫正衔接：
- 决定生效后，监狱或看守所会将罪犯移交至其居住地的司法行政机关（通常是社区矫正机构），由这些机构负责后续的社区矫正管理。同时，公安机关也会根据通知内容，与司法行政机关协同工作，确保罪犯在暂予监外执行期间得到有效的监管。
三、特殊情况说明
- 在某些特殊情况下，如法院在判决时发现被告人符合暂予监外执行条件，可以直接作出决定，并通知公安机关。同样，如果公安机关在侦查阶段发现此类情况，需要移送检察院审查起诉后由法院裁定。
四、总结与建议
综上所述，暂予监外执行决定的通知流程是一个涉及多个机关和环节的复杂过程。为了确保流程的顺畅进行和罪犯的有效监管，各机关之间需要保持密切的沟通与协作。如果您或您身边的人涉及此类情况，建议及时咨询专业律师或相关机关，以获取更具体、更准确的指导和帮助。