结论：邻居利用您家外墙搭建储藏室的行为，是否违法需结合具体情况判断，但通常情况下该行为涉嫌违法，您有权要求其停止侵害并恢复原状。以下从不同角度详细分析：
一、从物权法角度分析
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，业主对其建筑物专有部分享有占有、使用、收益和处分的权利。外墙作为建筑物的一部分，通常属于业主共有部分（除非购房合同或相关法规明确外墙归特定业主所有），但即便属于共有部分，其他业主也无权擅自利用。若外墙属于您专有部分（如独栋别墅的外墙），则邻居的行为明显侵犯了您的物权。
若外墙属于共有部分：邻居未经您及其他共有业主同意，擅自利用外墙搭建储藏室，属于无权处分行为，侵犯了共有业主的合法权益。您作为共有业主之一，有权要求邻居停止侵害、恢复原状，并可能要求赔偿损失。
若外墙属于您专有部分：邻居的行为直接侵犯了您的物权，您有权要求邻居立即停止侵害、拆除储藏室，并恢复外墙原状。若因此给您造成损失，您还有权要求邻居赔偿。
二、从相邻关系角度分析
根据《中华人民共和国民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。邻居利用您家外墙搭建储藏室，可能影响您家的通风、采光、安全等权益，违反了相邻关系的处理原则。
影响通风、采光：若储藏室遮挡了您家的窗户或通风口，导致室内通风、采光受影响，您有权要求邻居拆除或改造储藏室，以消除影响。
影响安全：若储藏室的存在增加了您家的安全隐患（如易燃物堆积、结构不稳定等），您有权要求邻居立即拆除，以确保您家的人身和财产安全。
三、从行政法规角度分析
根据《中华人民共和国城乡规划法》的规定，在城市、镇规划区内进行建筑物、构筑物、道路、管线和其他工程建设的，建设单位或者个人应当向城市、县人民政府城乡规划主管部门或者省、自治区、直辖市人民政府确定的镇人民政府申请办理建设工程规划许可证。邻居未经规划部门批准，擅自利用您家外墙搭建储藏室，属于违法建设行为。
违法建设：邻居的行为违反了城乡规划法的规定，您有权向当地城乡规划部门举报，要求其对邻居的违法建设行为进行查处。
行政处罚：城乡规划部门有权对邻居的违法建设行为进行行政处罚，包括责令停止建设、限期拆除、罚款等。若邻居拒不执行，城乡规划部门还可以申请人民法院强制执行。
四、建议与措施
与邻居协商：首先，您可以尝试与邻居进行友好协商，说明其行为可能带来的法律后果和对您家的影响，要求其自行拆除储藏室。
寻求物业或居委会帮助：若协商无果，您可以向物业或居委会反映情况，请求他们协助调解或采取相应措施。
向相关部门举报：若物业或居委会无法解决问题，您可以向当地城乡规划部门、城管部门或房管部门举报邻居的违法建设行为。
提起诉讼：若上述途径均无法解决问题，您还可以向人民法院提起诉讼，要求邻居停止侵害、恢复原状并赔偿损失。
总结：邻居利用您家外墙搭建储藏室的行为，通常涉嫌违法。您有权从物权法、相邻关系和行政法规等多个角度维护自己的合法权益。建议您先与邻居协商，若协商无果则寻求物业、居委会或相关部门的帮助，必要时可提起诉讼。如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。