幼儿园员工离职后申请劳动仲裁，老板应按照以下步骤处理，具体分情况说明：

1. 核实仲裁请求及事实依据
   老板需第一时间查阅员工提交的《劳动仲裁申请书》，明确其主张的诉求（如未签劳动合同双倍工资、违法解除赔偿金、未休年假工资、拖欠工资等）及事实理由。例如，若员工主张“未提前30天通知解除的代通知金”，需核实双方是否协商一致离职、是否符合《劳动合同法》第40条的法定情形；若主张“未缴纳社保”，需核查社保缴纳记录及员工是否已书面放弃社保（此类约定可能因违反强制性规定被认定无效）。

2. 收集反驳证据并制定策略
   根据员工主张，老板需针对性收集证据：

   • 劳动关系证明：劳动合同、工资发放记录、考勤表、工作证等；
     
   • 离职合法性证明：若员工主动离职，需保留辞职信、离职交接单；若老板合法解除，需提供违纪证据（如偷窃监控、旷工记录）、解除通知及工会意见（如涉及经济性裁员）；
     
   • 工资支付证明：银行流水、工资条，证明无拖欠；
     
   • 其他抗辩证据：如员工已签署《离职协议》放弃部分权利、仲裁时效已过（劳动争议时效为1年）等。
     例如：若员工主张“未签劳动合同双倍工资”，但老板能证明员工故意拖延签订或已享受同工同酬待遇，可能降低赔偿金额。

3. 参与仲裁程序并积极应诉
   老板需在收到《应诉通知书》后10日内提交答辩状及证据，并按时参加开庭。庭审中，老板可：

   • 质疑员工证据的真实性（如考勤表无员工签字）；
     
   • 主张员工诉求超出法定范围（如要求支付“精神损失费”无法律依据）；
     
   • 提出反请求（如员工离职时未归还幼儿园财物，可要求赔偿）。
     注意：若老板未按时应诉，仲裁委可能缺席裁决，老板将丧失抗辩权利。

4. 执行裁决或考虑后续救济

   • 若裁决支持员工：老板需在15日内履行支付义务（如支付赔偿金），否则员工可申请法院强制执行，老板可能被列入失信名单、限制高消费；
     
   • 若老板不服裁决：可在收到裁决书后15日内向法院起诉（注意：部分小额裁决（如工资争议）可能一裁终局，老板需在30日内向中院申请撤销裁决）；
     
   • 若员工不服裁决：员工同样可在15日内起诉，此时仲裁裁决不生效，案件进入诉讼程序。

温馨提示：劳动仲裁中，老板的举证责任较重（如解除合法性、工资支付等需老板证明），建议提前梳理证据链。若涉及复杂情形（如员工主张“被迫离职”并要求经济补偿），可进一步向我咨询具体应对方案。