作为兼职按摩师，如果不幸在按摩过程中导致对方受伤并面临赔偿要求，你可以按照以下步骤来妥善处理这一问题：

一、保持冷静，及时沟通

首先，保持冷静的态度，不要惊慌失措。立即与受伤者进行沟通，了解其受伤情况和需求，表达你的关切和愿意承担责任的意愿。这有助于缓解紧张气氛，为后续处理打下良好基础。

二、固定与收集证据

1. 医疗资料：建议受伤者立即前往正规医院就诊，并妥善保管所有与治疗相关的资料，如病历、诊断证明、医疗费用清单等。这些资料是证明伤害情况和治疗费用的关键证据。
2. 现场与服务证据：收集按摩服务的相关凭证，如消费单据、服务项目明细等。如果按摩场所安装有监控录像，可以尝试复制或申请调取，以还原事实真相。
3. 沟通记录：保留与受伤者的所有沟通记录，包括短信、微信、电话录音等。这些记录可以证明你对事件的认知和态度，以及双方协商的过程。

三、确定责任主体

1. 个体按摩师：如果你是以个体身份提供按摩服务，那么你个人就是责任主体。你需要承担因按摩导致的伤害赔偿责任。
2. 按摩店员工：如果你是按摩店的雇员，在提供按摩服务时导致对方受伤，那么根据《民法典》的规定，由用人单位（即按摩店）承担侵权责任。此时，你需要向按摩店报告此事，并配合其处理赔偿事宜。

四、合理提出赔偿要求

在明确责任和收集证据的基础上，你可以与受伤者或其家属协商具体的赔偿要求。赔偿项目通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费以及可能的精神损失费等。在协商过程中，要保持冷静理性，避免情绪化表达，并尽量达成书面赔偿协议，以确保双方权益。

五、寻求第三方调解

如果直接协商不成，你可以考虑向当地消费者协会投诉或申请人民调解委员会进行调解。这些机构具有专业性和中立性，能够促进双方达成和解，避免矛盾升级。

六、依法提起民事诉讼

当协商和调解均无法解决问题时，你可以准备相关材料向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在起诉状中，要详细列明原被告信息、诉讼请求、事实和理由等。参加庭审时，要如实陈述案件事实，出示证据，并积极维护自身合法权益。

七、特别注意时效性

要求赔偿通常受到法律规定的时效限制。因此，你务必在法定时间内提出索赔请求，以免丧失法律追索权。

总结与建议：

在整个赔偿过程中，你要严格遵守法律法规，以合理合法的方式维护自身权益。同时，鉴于法律程序的复杂性和专业性，我建议你咨询专业律师以获得更准确的法律建议和帮助。通过明确责任、收集证据、合理协商以及必要时采取法律手段，你可以更有效地维护自己的合法权益。