结论：胡同私自搭建的部分是否可以个人拆除，需视具体情况而定，主要取决于搭建部分的性质、归属以及相关法律法规的规定。以下从不同角度进行分析：

1. 搭建部分属于业主共有：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第二百七十四条，建筑区划内的道路、绿地以及其他公共场所、公用设施和物业服务用房，除非属于城镇公共部分或者明示属于个人，否则均属于业主共有。若胡同中的搭建部分属于此类共有部分，如公共通道、公共绿地上的搭建，则个人无权擅自拆除。
   • 法律建议：在此情况下，应首先通过业主大会或业主委员会进行协商，确定拆除方案，并可能需要获得相关行政部门的批准或备案。若搭建行为违反了相关法律法规或小区管理规约，业主大会或业主委员会可以依法要求拆除，并可通过法律途径追究相关责任人的法律责任。

2. 搭建部分属于个人专有或经合法程序获得使用权：

   • 若胡同中的搭建部分是在个人专有部分（如个人宅基地、个人房屋前后的空地等）上搭建，且未侵犯他人合法权益，也未违反相关法律法规或小区管理规约，则个人可能享有拆除的权利。但需注意，即使属于个人专有部分，拆除时也应遵守相关法律法规，如不得破坏公共设施、不得影响他人正常生活等。
   • 若搭建部分是通过合法程序（如与相关部门签订协议、获得许可等）获得使用权，则拆除时也应遵循相关协议或许可的规定。
   • 法律建议：在此情况下，个人在拆除前应仔细审查相关协议或许可，确保拆除行为符合规定。若拆除过程中可能涉及公共利益或他人权益，建议提前与相关部门或邻居进行沟通协商，以避免不必要的纠纷。

3. 搭建部分属于违法搭建：

   • 若胡同中的搭建部分未经相关部门批准或违反了相关法律法规（如城市规划法、建筑法等），则属于违法搭建。对于违法搭建，相关部门有权依法进行拆除，个人无权擅自拆除，但可以配合相关部门的拆除工作。
   • 法律建议：若发现胡同中存在违法搭建，个人可以向相关部门（如城市管理部门、规划部门等）进行举报，由相关部门依法进行处理。同时，个人也应遵守相关法律法规，不得进行违法搭建行为。

额外提醒：在处理胡同私自搭建问题时，无论搭建部分属于何种性质，个人都应保持冷静和理性，通过合法途径解决问题。若涉及复杂法律问题或纠纷难以解决，建议及时向我咨询，以便获得更专业的法律帮助。