私下签订的卖车协议书在满足一定条件时是有效的。以下是对这一问题的详细分析：
协议有效的条件
主体适格：
- 双方当事人需具有相应的民事行为能力。完全民事行为能力人（年满18周岁且精神健康，或16周岁以上以自己的劳动收入为主要生活来源的未成年人）可以独立签订售车协议。
- 限制民事行为能力人（8周岁以上不满18周岁的未成年人、不能完全辨认自己行为的成年人）签订的协议，若未经其法定代理人同意或追认，则可能无效。例如，未成年人未经监护人同意私自卖车，该协议可能因主体不适格而无效。
意思表示真实：
- 双方签订协议必须基于真实意愿，不存在欺诈、胁迫、重大误解等情形。
- 卖方应如实告知车辆的真实情况，包括车况、事故记录等，买方自愿购买。若卖方故意隐瞒车辆重大事故记录，导致买方在不知情的情况下购买，买方有权主张协议因欺诈而无效。
内容合法：
- 协议内容不得违反法律、行政法规的强制性规定。
- 交易的车辆不能是非法来源，如被盗抢、拼装或走私车辆。
- 约定的交易价格、付款方式、车辆交付时间等条款应符合法律规定。例如，若协议中约定以明显低于市场价格的价格交易车辆，且存在逃避税收等非法目的，该协议可能因内容违法而无效。
形式合法：
- 售车协议通常为不要式合同，即不要求特定形式。但为避免纠纷，建议采用书面形式，并明确双方的权利和义务。书面协议可以更清晰地记录双方的意思表示，减少口头协议可能带来的争议。
协议内容的完整性：
- 协议中应详细写明车辆的基本情况（如品牌、型号、车架号等）、交易价格、付款方式、交付时间等重要信息。完整的内容可以确保双方对协议有清晰的理解，避免后续因信息不明确而产生的纠纷。
协议可能无效的情形
- 主体不适格：如一方是无民事行为能力人，或限制民事行为能力人未经法定代理人同意或追认。
- 意思表示不真实：存在欺诈、胁迫、重大误解等情形。
- 内容违法：如交易的车辆是非法来源，或协议内容违反法律、行政法规的强制性规定。
- 违背公序良俗：如协议中约定将车辆用于违法犯罪活动。
实际操作中的注意事项
- 车辆所有权转移：根据《民法典》规定，动产物权的设立和转让自交付时发生效力。因此，签订售车协议后，车辆的所有权在交付时转移。但为保障双方权益，建议及时办理车辆过户登记手续。过户登记可以对抗善意第三人，避免后续因车辆所有权问题产生的纠纷。
- 协议审查：在签订协议前，双方应仔细审查协议内容，确保其真实性、合法性和有效性。可以邀请第三方见证或对协议进行公证，以增强协议的证明力。
举例说明：假设甲有一辆私家车，欲出售给乙。双方签订了书面售车协议，明确了车辆的基本情况、交易价格、付款方式、交付时间等条款。甲如实告知了车辆的车况和事故记录，乙自愿购买。协议签订后，双方按约定交付了车辆和款项，并办理了过户登记手续。在此情况下，该售车协议是有效的。
总结：私下签订的卖车协议书在满足主体适格、意思表示真实、内容合法、形式合法以及协议内容完整等条件时是有效的。为避免潜在的法律风险和纠纷，双方当事人在签订协议前应仔细审查各项条款，并确保所有信息的真实性和合法性。同时，及时办理车辆过户登记手续也是保障双方权益的重要措施。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。