结论前置：继父与继子断绝关系的方式取决于双方是否已形成抚养教育关系。若已形成抚养教育关系，则一般不能随意断绝，但在特定条件下可通过协议或诉讼解除；若未形成抚养教育关系，则在生母与继父的婚姻关系解除后自然解除。

详细分析：

1. 未形成抚养教育关系的情况：

   • 法律关系：如果继父与继子之间并未形成长期的共同生活和抚养教育关系，他们之间的法律关系主要基于姻亲关系。
   • 解除方式：当生母与继父离婚时，这种基于姻亲的关系通常自然解除，无需经过特殊的法律程序。例如，若继父与继子仅在名义上有亲属关系，实际上并未进行抚养教育，则当生母与继父离婚后，该关系即自行终止。

2. 形成抚养教育关系的情况：

   • 法律关系：一旦继父与继子之间形成了抚养教育关系，就产生了拟制血亲关系，这种关系在法律上等同于亲生父母子女关系，具有较强的法律约束力，一般不能随意断绝。
   • 解除途径：
     • 协议解除：若继子已成年且双方关系恶化至无法继续共同生活，双方可通过协商达成书面协议，明确自愿解除继父继子关系，并对财产、赡养等相关问题作出妥善处理。例如，约定继子不再承担赡养义务，继父也不再对继子有财产主张。建议对协议进行公证以增强法律效力。
     • 诉讼解除：若协商不成，任一方可向人民法院提起诉讼，请求解除关系。法院将依据双方矛盾程度、是否存在虐待等恶劣行为来判断是否符合解除条件。如继子长期虐待、遗弃继父，严重伤害其身心健康，法院可能判决解除关系。
   • 特殊情形：
     • 未成年人保护：若继子是未成年人，在一般情况下不能随意解除继父与继子关系，以免损害未成年人的权益。除非存在特殊情形（如生母要求领回抚养等），并经法院判决，才可能解除。
     • 严重侵害行为：若继子严重侵害继父合法权益，如虐待、遗弃等，继父可通过民事诉讼要求解除抚养教育关系。

3. 解除关系的法律后果：

   • 财产方面：已形成抚养关系的继子，在继父去世后可能享有法定继承权。关系解除后，这种权利将丧失。
   • 赡养义务：若继父对继子尽了抚养教育义务，即使关系解除，继子对年老且缺乏劳动能力又没有生活来源的继父仍可能承担一定赡养责任，但具体责任需根据实际情况和法院判决来确定。

处理建议：

• 在处理继父与继子关系问题时，建议优先通过沟通、协商等方式解决，以维护家庭的稳定和和谐。
• 若确需通过法律途径解决，应充分了解相关法律规定和程序，并准备好相关证据材料。
• 在处理此类问题时，应充分考虑未成年人的权益保护，避免对其造成不必要的伤害。

总结：继父与继子关系的断绝需根据具体情况而定。在未形成抚养教育关系的情况下，关系随生母与继父婚姻关系的解除而自然解除；在已形成抚养教育关系的情况下，则一般不能随意断绝，但在特定条件下可通过协议或诉讼解除。在处理此类问题时，应充分考虑法律规定及实际情况，并寻求专业法律意见以确保合法权益得到保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。