结论前置：员工被辞退且未签订劳动合同时，只要能够证明存在事实劳动关系，员工依然有权获得未签订劳动合同的双倍工资以及违法解除劳动关系的赔偿金。具体补偿和赔偿金额需依据员工在公司的工作年限、月工资标准及是否存在合法解雇理由等因素综合确定。

一、事实劳动关系的认定

尽管没有签订书面劳动合同，但只要能证明存在事实劳动关系，员工就依法享有获得相应补偿的权利。证明事实劳动关系的方式包括但不限于：工资支付记录（如工资条、银行转账记录）、工作证、考勤记录、同事证言以及其他能体现劳动关系存在的证据。这些证据是后续维权的关键，员工应尽可能收集并保存好。

二、未签订劳动合同的双倍工资

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保用人单位及时与劳动者签订书面劳动合同。

• 起算时间：从用工之日起满一个月的次日开始计算。
• 截止时间：补订书面劳动合同的前一日或满一年当日（视为无固定期限劳动合同）。
• 计算方式：以员工实际工作的月数为基数（第一个月不计算在内），按照其月工资标准计算双倍工资差额。例如，若员工工作了6个月且月工资为5000元，则用人单位应支付的双倍工资差额为5000元/月×5个月=25000元。

三、违法解除劳动关系的赔偿金

若公司辞退行为属于违法解除劳动关系，根据《劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，具体标准如下：

• 每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；
• 六个月以上不满一年的，按一年计算；
• 不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。赔偿金计算公式为：

赔偿金 = 经济补偿金 × 2

经济补偿金计算公式为：

经济补偿金 = 工作年限 × 月工资

例如，如果员工在公司工作了2年3个月，月平均工资为5000元，公司违法辞退该员工，则经济补偿应为2.5个月工资（即12500元），而赔偿金则是经济补偿的二倍，即25000元。

四、特殊情形下的补偿处理

1. 试用期被辞退：若用人单位能证明劳动者不符合录用条件，可依法解除合同且不支付补偿。但若无法证明，则需按上述标准支付补偿。
2. 因劳动者过错被辞退：如劳动者存在严重失职、营私舞弊等行为导致用人单位重大损失，用人单位可解除合同且不支付补偿。
3. 协商一致解除合同：双方协商一致解除合同时，用人单位应按工作年限支付经济补偿金。

五、员工维权建议

1. 收集证据：由于未签订劳动合同，员工应特别注意收集能证明劳动关系的证据，这是维权的关键。
2. 协商与仲裁：建议先尝试与公司进行协商，要求合理的补偿。如果协商无果，员工可以在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。在整个过程中，保留好所有可能的证据以支持主张。
3. 法律诉讼：若劳动仲裁未能解决争议，员工还可以向法院提起诉讼来进一步维护自己的权益。

综上所述，即使未签订劳动合同，员工在被公司辞退时依然有权获得相应的补偿。关键在于证明事实劳动关系的存在，并按照法律规定的程序和标准来申请补偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。