在交通事故案件中，若肇事方逃逸，保险公司先行赔付后是否享有追偿权，这确实是一个涉及法律条款和保险合同细节的问题。以下是对此问题的详细解答：
一、交强险情况下的追偿权
赔偿范围：
- 交强险主要对第三人人身损害进行赔偿，这包括医疗费、护理费、误工费等因交通事故导致的直接经济损失，但通常不包括财产损失。
追偿权行使：
- 在肇事逃逸案件中，若导致第三人人身损害，保险公司需在交强险责任限额范围内予以赔偿。虽然《机动车交通事故责任强制保险条例》及相关司法解释并未直接将肇事逃逸列为保险公司可追偿的范围，但在特定情况下，如保险公司垫付了抢救费用，它有权向致害人（即肇事逃逸者）追偿。
结论：
- 对于交强险部分，保险公司在向受害人进行人身损害赔偿后，一般不能直接向侵权人（肇事逃逸者）追偿，但垫付的抢救费用是一个例外。
二、商业三者险情况下的追偿权
免责条款：
- 商业三者险的条款由保险公司和投保人协商确定，且多数合同中会将“交通肇事后逃逸”列为免责条款。这意味着，如果肇事逃逸行为被明确列为免责事项，且保险公司已就该免责条款对投保人履行了提示和明确说明义务，那么保险公司可以依据合同约定不承担赔偿责任。
追偿权行使：
- 若保险公司错误进行了赔偿（即本应免责但未免责），它有权向肇事逃逸者进行追偿。这是因为，保险公司是基于合同关系进行赔偿的，如果合同中有免责条款且已履行提示说明义务，那么保险公司本不应承担赔偿责任。
- 若保险公司未对该免责条款履行提示和明确说明义务，则该免责条款不产生效力，保险公司需按合同约定进行赔偿，且赔偿后通常不能再向肇事逃逸者追偿。
结论：
- 对于商业三者险部分，保险公司能否追偿取决于免责条款的有效性及其履行情况。若免责条款有效且已履行提示说明义务，保险公司有权追偿；否则，通常不能追偿。
三、综合建议
- 遵守交通法规：肇事逃逸是严重的违法行为，不仅会对受害者造成身心伤害，还会给肇事者带来严重的法律后果和经济负担。因此，驾驶人应严格遵守交通法规，安全驾驶。
- 仔细阅读保险合同：投保人在购买保险时，应仔细阅读合同条款，特别是免责条款部分。这有助于了解保险公司在何种情况下不承担赔偿责任，以及自身在何种情况下可以获得赔偿。
- 及时报案并配合调查：在发生交通事故后，驾驶人应及时报案并配合交警部门的调查。这有助于查明事故原因和责任归属，为后续的保险理赔和法律诉讼提供有力证据。
综上所述，保险公司在交通事故案件中逃逸后的追偿权问题，需根据交强险和商业三者险的具体条款以及相关法律法规进行综合判断。