被人咬破手指，可通过以下司法程序处理：

1. 及时报警并保留证据
   首先应立即报警，由警方介入调查并固定证据（如现场照片、监控录像、证人证言等）。警方会根据伤情程度决定是否立案：

   • 若伤情构成轻微伤，属于治安案件，警方可依据《治安管理处罚法》对施暴者处以行政拘留或罚款；
     
   • 若伤情构成轻伤及以上，则涉嫌刑事犯罪（故意伤害罪），警方会启动刑事侦查程序。
     关键点：务必在24小时内到医院验伤并保留诊断证明，这是后续维权的核心证据。

2. 主张民事赔偿
   无论伤情轻重，均可通过民事诉讼要求施暴者赔偿医疗费、误工费、护理费等实际损失。步骤如下：

   • 准备证据：包括医疗记录、费用单据、收入证明、伤情鉴定报告等；
     
   • 起诉流程：向被告住所地或侵权行为地法院提交起诉状，法院受理后安排开庭审理；
     
   • 赔偿范围：除直接经济损失外，若伤情构成伤残（需司法鉴定），还可主张残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。
     提示：民事诉讼与刑事案件可并行处理，即使施暴者被追究刑事责任，仍需承担民事赔偿责任。

3. 刑事案件中的被害人权利
   若伤情构成轻伤及以上，案件进入刑事程序后：

   • 刑事附带民事诉讼：在检察院提起公诉时，可同步提起附带民事诉讼要求赔偿；
     
   • 单独民事诉讼：也可在刑事案件结束后另行起诉，但需注意诉讼时效（一般为3年）；
     
   • 谅解书的影响：若双方达成和解并出具谅解书，施暴者可能获得从轻处罚，但不影响你主张赔偿的权利。
     

行动建议：

1. 优先处理伤情并保留所有医疗证据；
   
2. 根据伤情程度决定是否要求警方做伤情鉴定；
   
3. 联系律师协助准备民事起诉材料或参与刑事案件协商。
   

如有进一步疑问（如赔偿计算、证据收集细节等），可直接向我咨询。