因病判决未执行的罪犯，其监管责任主要由公安机关承担，同时监狱或看守所也会根据具体情况配合监管。以下是对这一问题的详细分析：
一、公安机关的监管责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，对于被判处刑罚但因病暂予监外执行的罪犯，其监管责任主要由公安机关负责。公安机关会指定专门的派出所或基层组织对罪犯进行日常监管，确保罪犯遵守相关规定，不逃避法律制裁。
监管内容：
- 公安机关会定期对罪犯进行身体检查，确保其病情符合暂予监外执行的条件。
- 监督罪犯遵守法律法规，不得从事违法犯罪活动。
- 监督罪犯遵守社区矫正规定，如定期报到、参加社区服务等。
二、监狱或看守所的配合监管
情况说明：
- 在罪犯因病暂予监外执行期间，虽然罪犯不在监狱或看守所内服刑，但监狱或看守所仍会对其保持一定的监管联系。
- 监狱或看守所会定期与公安机关沟通，了解罪犯的病情和监管情况，确保罪犯的监管工作得到有效落实。
配合措施：
- 监狱或看守所会提供罪犯的病历资料、服刑表现等相关信息，协助公安机关进行监管。
- 在罪犯病情好转或符合收监条件时，监狱或看守所会及时与公安机关沟通，办理收监手续。
三、特殊情况下的监管
病情恶化：
- 如果罪犯在暂予监外执行期间病情恶化，需要住院治疗或采取其他医疗措施，公安机关会及时与医疗机构沟通，确保罪犯得到及时有效的治疗。
- 同时，公安机关会加强对罪犯的监管，防止其利用病情恶化逃避法律制裁。
逃避监管：
- 如果罪犯在暂予监外执行期间逃避监管，如擅自离开居住地、不按规定报到等，公安机关会立即采取措施进行追捕和处罚。
- 对于情节严重的，公安机关会提请法院撤销暂予监外执行决定，将罪犯收监执行。
四、法律建议
对于罪犯及其家属：
- 应积极配合公安机关的监管工作，遵守相关规定和法律法规。
- 如遇病情变化或生活困难等情况，应及时向公安机关报告并寻求帮助。
对于公安机关：
- 应加强对因病判决未执行罪犯的监管力度，确保监管工作得到有效落实。
- 应定期与监狱或看守所沟通，了解罪犯的病情和监管情况，及时调整监管措施。
如果您或您身边的人遇到类似问题，或者对刑事案件中的监管责任有进一步的疑问，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供更详细、更专业的法律建议。