当劳动合同第二次到期，而员工选择不续签时，赔偿问题主要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来确定。以下是对此问题的详细解答：

一、经济补偿的基本原则

在一般情况下，如果劳动合同到期，且是公司选择不续签或者降低劳动条件导致员工不愿续签，同时不存在员工严重违反用人单位规章制度等特定情形，公司应当向员工支付经济补偿金。

二、经济补偿的计算方法

1. 工作年限计算：

   • 经济补偿按员工在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资。
   • 六个月以上不满一年的，按一年计算，支付一个月工资。
   • 不满六个月的，支付半个月工资。

2. 月工资定义：

   • 月工资指的是员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

3. 特殊情况限制：

   • 如果员工的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

三、无需支付经济补偿的特定情形

• 如果公司维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而员工不同意续订的，公司无需支付经济补偿。

四、无固定期限劳动合同的订立与责任

• 在连续订立二次固定期限劳动合同后，如果员工没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，且员工提出或同意续订、订立劳动合同，除员工提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
• 如果公司违反此规定不与员工订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起需向员工每月支付二倍的工资。

五、实际案例说明

假设员工小张在某公司工作了4年，月工资为6000元，第二次劳动合同到期后公司不续签：

• 在这种情况下，公司应支付给小张的经济补偿为4个月工资，即4 × 6000 = 24000元。
• 如果小张符合签订无固定期限劳动合同的条件，而公司违法不续签，那么公司应支付的赔偿金为经济补偿标准的二倍，即24000 × 2 = 48000元。

六、维权建议

• 如果员工遇到合同到期不续签的情况，应首先与公司进行沟通协商，明确公司的态度和赔偿方案。
• 如果双方无法达成一致，员工可以寻求劳动仲裁委员会或人民法院的帮助来维护自己的合法权益。
• 为确保维权成功，员工应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等。

综上所述，当第二次劳动合同到期员工不续签时，赔偿问题主要依据员工的工作年限、月工资以及是否存在特殊情况来确定。员工在处理此类问题时，应充分了解相关法律法规，并与公司进行充分沟通，必要时寻求专业法律帮助以确保自身权益得到妥善保护。