当劳动合同到期且未续签，同时员工被辞退时，员工确实有权根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规来申请经济补偿。以下是我为您详细梳理的赔偿申请流程及相关要点：
一、明确法律依据与赔偿情形
首先，您需要了解的是，根据《劳动合同法》的规定，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意，否则劳动合同期满终止时，用人单位是需要支付经济补偿的。
二、收集证据与审查合同
三、计算赔偿金额
经济补偿的计算标准如下：
四、尝试协商解决
在正式提出赔偿申请前，我建议您先与用人单位进行沟通协商。您可以向用人单位说明法律规定，并请求其依法支付经济补偿。同时，请保留好沟通记录，如聊天记录、邮件等，以备不时之需。
五、申请劳动争议调解
如果协商不成，您可以向本单位的劳动争议调解委员会或基层人民调解组织申请调解。在调解过程中，请如实陈述情况，并提供相关证据。如果调解达成协议，双方应制作调解协议书并履行。
六、申请劳动仲裁
如果协商或调解仍然无法解决问题，您可以在知道权利被侵害之日起一年内向劳动争议仲裁委员会提出书面仲裁申请。在仲裁过程中，您需要按要求参加庭审，陈述主张，提供证据，并进行质证和辩论。仲裁庭将在受理申请后四十五日内（复杂案件可延期十五日）作出裁决。
七、考虑诉讼途径
如果您对仲裁裁决不服，可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要参加诉讼活动，提供证据支持主张，法院将依法进行判决。
八、注意事项
综上所述，当劳动合同到期未续签且被辞退时，您应明确法律依据，收集充分证据，并按照法定程序申请经济补偿。通过协商、调解、仲裁或诉讼等途径，您可以依法维护自己的合法权益。