结论：六日在家工作期间摔倒是否算工伤，需根据具体情况判断，若符合“工作时间、工作场所、工作原因”三要素，且不存在不得认定为工伤的情形，则一般可认定为工伤；反之，则可能不被认定为工伤。以下从不同角度详细分析：
一、工伤认定的基本条件
根据《工伤保险条例》第十四条，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：
在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的：这是工伤认定的核心要素，即伤害需发生在工作时间、工作场所内，且因工作原因导致。
工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的：虽然此条款主要针对工作时间前后的预备性或收尾性工作，但体现了工伤认定对“工作相关”的宽泛理解。
在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的：此条款强调了伤害与工作职责的直接关联性。
患职业病的：与本题情况不符，故不展开讨论。
因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的：此条款针对因工外出的情况，与本题在家工作不符。
在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的：此条款针对上下班途中的情况，与本题在家工作不符。
法律、行政法规规定应当认定为工伤的其他情形：此为兜底条款，需具体分析。
针对本题，若六日在家工作期间摔倒，需判断是否满足“工作时间、工作场所、工作原因”三要素。若摔倒时正在从事与工作相关的活动，如处理工作邮件、接听工作电话等，且摔倒地点为家中工作区域（如书房、办公室等），则可能符合工伤认定条件。
二、不得认定为工伤或视同工伤的情形
根据《工伤保险条例》第十六条，职工符合本条例第十四条、第十五条的规定，但是有下列情形之一的，不得认定为工伤或者视同工伤：
故意犯罪的：若摔倒系故意犯罪行为导致，如故意破坏工作设备导致摔倒，则不得认定为工伤。
醉酒或者吸毒的：若摔倒时处于醉酒或吸毒状态，且该状态与摔倒有直接因果关系，则不得认定为工伤。
自残或者自杀的：若摔倒系自残或自杀行为导致，则不得认定为工伤。
针对本题，若摔倒时不存在上述不得认定为工伤的情形，则不影响工伤认定的判断。
三、特殊情形下的工伤认定
居家办公的工伤认定：随着远程办公的普及，居家办公期间的工伤认定成为新问题。一般来说，若职工按照用人单位的要求居家办公，且摔倒时正在从事与工作相关的活动，则可能符合工伤认定条件。但需注意，职工需提供证据证明摔倒与工作相关，如工作记录、通话记录等。
非全日制员工的工伤认定：若摔倒者为非全日制员工，其工伤认定可能受到一定限制。但根据《工伤保险条例》及相关规定，非全日制员工同样享有工伤保险待遇，只要符合工伤认定条件，即可申请工伤认定。
四、建议与措施
及时报告：若在家工作期间摔倒受伤，应立即向用人单位报告，并保留相关证据（如工作记录、通话记录、医疗记录等）。
申请工伤认定：在规定时间内（一般为受伤之日起30日内）向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
寻求法律帮助：若对工伤认定结果有异议，或用人单位不配合申请工伤认定，可寻求专业律师的帮助，维护自身合法权益。
最后，六日在家工作期间摔倒是否算工伤，需根据具体情况判断。若符合工伤认定条件，且不存在不得认定为工伤的情形，则可申请工伤认定并享受相应待遇。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。