结论前置：离婚第一个月不给抚养费，您完全有权向法院提起诉讼追讨，但出于诉讼成本和实际效果考虑，建议在与对方多次沟通无果、拖欠达到一定数额或时间（如连续几个月）后，再行起诉。

详细分析：

抚养费是父母为了保障孩子生活、教育和成长需要而承担的法定义务，不论是否离婚，这一责任均存在。在法律层面，并未明确规定离婚后几个月不给抚养费即可起诉的具体时限。理论上，只要一方未按约定支付抚养费，另一方即有权通过法律途径追讨。

一、协议离婚情形

• 在协议离婚中，双方会在离婚协议中明确抚养费的支付方式和时间。若对方未按照协议履行支付义务，即使仅逾期一个月，您也有权向法院提起诉讼，要求支付拖欠的抚养费。不过，实际操作中，为减少矛盾，通常会先尝试与对方沟通协商，并给予一定的宽限期。若沟通无果，则可通过起诉解决。

二、诉讼离婚情形

• 通过诉讼方式离婚时，法院的判决书或调解书会明确抚养费的支付金额、方式和时间。若对方未按时支付，您可以依据生效的法律文书向法院申请强制执行。若强制执行后仍不支付后续抚养费，您可就新产生的未支付部分再次起诉要求支付。

三、诉讼前的准备与建议

1. 沟通协商：在决定起诉前，建议先与对方进行多次沟通，尝试协商解决。这有助于减少矛盾，也可能促使对方主动履行支付义务。
2. 收集证据：若沟通无果，应收集相关证据，如离婚协议、银行转账记录、聊天记录等，以证明对方未支付抚养费的事实。这些证据在诉讼过程中将起到关键作用。
3. 考虑诉讼成本：考虑到诉讼成本和实际效果，建议在拖欠达到一定数额或时间（如连续几个月）后，再行起诉。这样可以确保诉讼的合理性和有效性，避免因为小额或短期的拖欠而频繁提起诉讼。

四、法律依据

根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条规定：“离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。”此条款明确了父母对子女的抚养义务，以及抚养费支付的法律基础。

总结与建议：

离婚后，若一方不支付抚养费，您完全有权通过法律手段保护自己和孩子的合法权益。在操作过程中，应综合考虑实际情况和法律法规，确保诉讼的合理性和有效性。若遇到相关问题，欢迎随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。