结论前置：在劳动仲裁后，若对裁决结果不服，通常来说，当事人有一次向法院起诉的机会。但根据案件是否属于一裁终局以及后续是否上诉，具体流程会有所不同。以下是对此问题的详细解答：
一、常规法律程序下的起诉与上诉
起诉机会：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，当事人对劳动仲裁裁决不服的，可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这是当事人在劳动仲裁后进入法院诉讼程序的主要途径，通常只有一次起诉机会。
上诉权利：
- 如果当事人对一审法院的判决结果仍然不服，可以在规定的期限内向上一级人民法院提起上诉。这属于上诉程序，而非起诉程序。上诉也仅有一次机会，二审法院作出的判决为终审判决，当事人不得再就同一事实和理由继续上诉。
二、一裁终局案件的特殊处理
一裁终局的定义：
- 一裁终局是指仲裁裁决作出后，即发生法律效力，当事人不得再就同一争议向法院起诉的制度。但这一制度并不适用于所有劳动争议案件，而是针对特定类型的案件，如追索劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或赔偿金等，且数额不超过当地月最低工资标准十二个月金额的争议。
一裁终局案件的处理：
- 劳动者起诉：劳动者对一裁终局的仲裁裁决不服，可在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。若对一审判决不服，还可上诉至二审。
- 用人单位申请撤销：用人单位对一裁终局的仲裁裁决不能直接起诉，但如有证据证明裁决存在错误（如适用法律错误、无管辖权等），可在收到裁决书之日起三十日内向中级人民法院申请撤销裁决。若裁决被撤销，用人单位可自收到裁定书之日起十五日内就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。
三、再审程序的特殊情况
- 在特定情况下，如当事人有新的证据足以推翻原判决、原判决认定事实的主要证据是伪造的等，可以根据相关法律规定申请再审。然而，再审程序的启动条件较为严格，且并非所有案件都能进入再审程序。再审也不是常规意义上的“起诉”或“上诉”，而是对已经发生法律效力的判决、裁定、调解书进行审查的一种特殊程序。
四、实际操作建议
- 及时行动：无论是起诉还是上诉，都有严格的时间限制。当事人应在规定期限内行使权利，以免丧失诉讼机会。
- 准备充分：在提起诉讼或上诉前，当事人应充分准备证据和法律依据，以支持自己的主张。
- 寻求专业帮助：劳动争议案件涉及法律条款众多，程序复杂。当事人可以向我咨询，以获取更专业的法律帮助。
综上所述，不服劳动仲裁的起诉次数及后续程序需根据案件性质（一裁终局或非一裁终局）以及是否上诉具体确定。在大多数情况下，当事人有一次起诉机会和一次上诉机会。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。