结论前置：公司合法辞退员工需严格遵循《中华人民共和国劳动合同法》的规定，主要分为过错性辞退、非过错性辞退和经济性裁员三种情况。每种情况都有其特定的适用条件和程序要求，以下我将从这三个方面为你详细阐述。
一、过错性辞退
在劳动者存在过错的情况下，用人单位无需提前通知或支付经济补偿即可解除劳动合同。具体情形包括：
试用期间不符合录用条件：
- 用人单位需在招聘时明确录用条件，并告知劳动者。例如，招聘时明确要求应聘者需具备某项专业技能或学历要求，且在试用期内进行客观考核，确保有充分证据证明劳动者不符合条件。若劳动者在试用期内无法达到这些要求，用人单位可以合法辞退。
严重违反规章制度：
- 规章制度需合法制定，内容合法且经过民主程序制定并向劳动者公示。例如，公司规章制度中明确规定禁止员工在工作时间内进行与工作无关的活动，如玩游戏、浏览无关网站等，且该规章制度已通过职工代表大会或全体职工讨论，并向劳动者进行了公示。若劳动者严重违反这些规定，如多次被发现玩游戏且拒不改正，用人单位可以合法辞退。
严重失职、营私舞弊造成重大损害：
- 劳动者存在严重失职或营私舞弊行为，如玩忽职守、滥用职权等，且该行为给用人单位造成重大损害。例如，某财务人员因疏忽大意将公司资金转入错误账户，导致公司遭受重大经济损失，且该行为被认定为严重失职，用人单位可以合法辞退。
同时与其他用人单位建立劳动关系：
- 劳动者存在兼职情况，且对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正。例如，某员工在未经公司同意的情况下，同时在另一家公司兼职，且因兼职导致本职工作经常无法按时完成，经公司提出后仍拒不改正，用人单位可以合法辞退。
劳动合同无效：
- 因欺诈、胁迫或乘人之危导致劳动合同无效。例如，某员工在入职时提供虚假学历证明，后经公司查实，该学历证明为伪造，导致劳动合同无效，用人单位可以合法辞退。
被依法追究刑事责任：
- 劳动者被人民法院判处刑罚或免予刑事处罚。例如，某员工因犯罪被法院判处有期徒刑，用人单位可以合法辞退。
二、非过错性辞退
劳动者无主观过错，但因客观原因，用人单位需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后可解除劳动合同。具体情形包括：
患病或非因工负伤：
- 劳动者需有合法医疗机构出具的诊断证明和休假证明，且医疗期满后不能从事原工作，也不能从事用人单位另行安排的工作。例如，某员工因患病需要长期治疗，医疗期满后仍无法从事原工作，且公司无法为其安排其他合适的工作岗位，用人单位可以合法辞退，但需支付经济补偿。
不能胜任工作：
- 用人单位需有明确岗位要求和考核标准，且经过培训或调整工作岗位后，劳动者仍不能胜任工作。例如，某员工因技能不足无法胜任当前工作岗位，公司为其提供了培训机会并调整了工作岗位，但该员工仍无法胜任新工作，用人单位可以合法辞退，但需支付经济补偿。
客观情况发生重大变化：
- 如企业迁移、被兼并等导致劳动合同无法履行，且用人单位需与劳动者协商变更劳动合同内容，协商不成可解除劳动合同。例如，某公司因业务调整需要迁移至其他城市，导致原劳动合同无法继续履行，公司与员工协商变更劳动合同内容（如工作地点、薪资等），但协商不成，用人单位可以合法辞退，但需支付经济补偿。
三、经济性裁员
用人单位因经济原因需裁减人员时，需满足一定人数和法定程序要求，并提前向工会或全体职工说明情况，听取意见后向劳动行政部门报告。具体情形包括：
依照企业破产法规定进行重整：
- 企业出现破产原因，按《企业破产法》规定进行重整。例如，某企业因经营不善导致资不抵债，依法进入破产重整程序，需要裁减部分员工以降低成本，用人单位可以合法裁员，但需支付经济补偿。
生产经营发生严重困难：
- 需有相关财务数据、经营报表等证据证明生产经营状况恶化至严重困难。例如，某企业因市场环境变化导致销售额大幅下降，连续多年亏损，生产经营陷入严重困难，需要裁减部分员工以维持运营，用人单位可以合法裁员，但需支付经济补偿。
企业转产、重大技术革新或经营方式调整：
- 经变更劳动合同后仍需裁减人员。例如，某企业因技术升级需要转产新产品，导致原生产线员工无法继续从事原工作，且公司无法为其安排其他合适的工作岗位，经过协商变更劳动合同内容后仍需裁减部分员工，用人单位可以合法裁员，但需支付经济补偿。
其他客观经济情况发生重大变化：
- 导致劳动合同无法履行的其他经济情况。例如，某企业因政策调整导致原材料供应中断，无法继续生产原产品，且无法找到替代原材料或调整生产方向，导致劳动合同无法履行，需要裁减部分员工，用人单位可以合法裁员，但需支付经济补偿。
总结与建议：公司在辞退员工时，必须确保行为符合法律法规，遵循公平、公正的原则。建议公司在实际操作中详细了解并遵循相关法律法规，确保辞退行为的合法性。如果你或你的公司面临劳动纠纷问题，欢迎直接向我咨询，我将为你提供专业的法律建议。