结论前置：羁押必要性审查的申请时机并没有一个绝对固定的时间限制，但通常可以在犯罪嫌疑人、被告人被逮捕后至判决生效前的各个诉讼阶段提出，具体需根据案件进展和实际情况综合判断。
详细分析：
羁押初期：
- 犯罪嫌疑人被羁押后，应尽快（一般建议在24小时内）考虑是否提出羁押必要性审查申请。这是为了尽早对羁押的必要性进行审查，防止不必要的羁押。
- 如果羁押期超过24小时，但根据案件情况，犯罪嫌疑人并不满足继续羁押的必要条件，也应在羁押之日起的合理时间内（如5日内）再次或补充向检察机关提出羁押必要性审查申请。
侦查阶段：
- 在逮捕后的一段时间内（通常建议结合案件具体侦查进度，如2个月左右），若发现可能不符合继续羁押条件时，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权向办案机关对应的同级人民检察院刑事执行检察部门提出羁押必要性审查申请。此时，由于侦查工作已有一定进展，是否有继续羁押的必要可能更加明晰。
审查起诉阶段：
- 案件移送至检察院审查起诉后，同样可以向负责审查起诉的检察院提出羁押必要性审查申请。若在此阶段发现犯罪嫌疑人认罪认罚，或者案件事实基本查清、证据已收集固定，且犯罪嫌疑人符合取保候审或监视居住条件，应及时提出申请。
审判阶段：
- 在法院审理过程中，依然可以向审理案件的法院对应的同级人民检察院提出羁押必要性审查申请。例如，庭审过程中发现被告人身体出现严重疾病不适宜继续羁押，或者案件审理时间延长但被告人的社会危险性降低等情况，均可申请羁押必要性审查。
特殊情况下的申请：
- 如果案情复杂或存在特殊情况，导致羁押期限适当延长，应在每延长羁押期限的合理时间内（如7日内）向检察机关提出羁押必要性审查申请。这是为了持续监督羁押的必要性，确保羁押措施与案件进展和法律规定相符合。
申请要点与建议：
- 在申请羁押必要性审查时，应提供充分的证据和材料，以支持审查申请的合理性和合法性。这些证据和材料可能包括犯罪嫌疑人的身体状况证明、认罪态度说明、案件进展报告等。
- 检察机关应依法对羁押必要性进行审查，并及时作出决定。在审查过程中，应注重保护犯罪嫌疑人的合法权益，确保审查结果的公正性和准确性。
- 作为律师，在代理案件时，应密切关注羁押必要性审查的时机和条件，及时为当事人提出申请，以最大程度维护当事人的合法权益。
法律背景与后果：
- 羁押必要性审查是刑事诉讼中的一项重要制度，旨在保障犯罪嫌疑人的合法权益，避免不必要的羁押。如果羁押必要性审查申请得到批准，犯罪嫌疑人可能被取保候审或监视居住，从而减轻羁押带来的不利影响。
- 如果未及时提出羁押必要性审查申请，或者申请未得到批准，犯罪嫌疑人可能继续被羁押直至判决生效。因此，合理把握申请时机和提供充分的证据材料至关重要。
综上所述，羁押必要性审查的申请时机需根据案件的具体情况和进展来综合判断。如果你或你的亲友面临此类情况，有问题可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。