针对您提出的“事故双方都肇事逃逸怎么处理”的问题，这是一个涉及法律责任和程序处理的复杂情况。以下是我为您详细梳理的处理流程和法律责任分析：

一、处理流程

1. 案件受理与立案侦查

   • 交警部门在接到事故报警后，会迅速展开调查，通过现场勘查、调取监控、收集证据等方式，尽力还原事故发生的基本情况。
   • 若确认双方均存在肇事逃逸行为，公安部门会正式立案，并出具《立案决定书》，随后进行深入侦查，以查明事故真相和双方责任。

2. 责任认定

   • 交警部门会依据事故现场的证据、证人证言、车辆行驶轨迹、监控录像等多方面信息，综合判断双方在事故中的过错程度。
   • 责任划分并非简单平均分配，而是根据各自对事故发生的贡献度、逃逸行为对事故处理的影响等因素来确定。例如，若一方违规驾驶是事故主因，即便双方逃逸，该方也可能承担主要责任。

3. 处罚措施与赔偿协商

   • 根据责任认定结果，交警部门会对双方进行相应的行政处罚，如罚款、拘留、吊销驾驶证等。
   • 同时，双方需就事故造成的人身伤害和财产损失进行民事赔偿协商。若协商不成，可通过法律途径解决，如申请交警部门调解或向法院提起民事诉讼。

4. 后续程序

   • 若对责任认定或处罚决定不服，双方可在规定时间内向上一级交警部门申请复核。
   • 对于民事赔偿部分，若调解无果，受害人可向法院提起诉讼，要求肇事方承担赔偿责任。

二、法律责任

1. 民事责任

   • 双方均需对事故造成的人身伤害和财产损失承担民事赔偿责任，赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金、死亡赔偿金、财产修复或重置费用等。
   • 若车辆投保了交强险和商业险，保险公司将在保险责任范围内进行赔付，超出部分由肇事方自行承担。

2. 行政处罚

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》，肇事逃逸尚不构成犯罪的，将面临二百元以上二千元以下罚款，可并处十五日以下拘留，同时吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得。

3. 刑事责任

   • 若事故造成人员重伤、死亡或重大财产损失，且逃逸行为构成交通肇事罪的，双方将承担刑事责任。
   • 根据《中华人民共和国刑法》相关规定，犯交通肇事罪的，处三年以下有期徒刑或拘役；逃逸或有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。

三、建议与总结

• 立即报警并保护现场：发生事故后，应立即停车并报警，保护现场、抢救伤员，这是维护自身权益和履行法律义务的首要步骤。
• 积极配合调查：如实向交警陈述事故经过，提供逃逸车辆特征及逃逸方向等信息，配合警方调查工作。
• 咨询专业律师：面对复杂的法律责任和程序处理，建议咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助，确保自身权益得到妥善维护。

综上所述，双方都肇事逃逸的情况下，处理流程复杂且涉及多种法律责任。因此，务必保持冷静，采取正确应对措施，并遵循法律程序处理事故。