结论：公路旁边乱挖公路建筑控制区内的行为是违法的，但能否直接使用执法证进行逮捕需视具体情况而定，一般而言，执法证本身并不赋予逮捕的权力，逮捕需由公安机关依法进行。

详细分析：

1. 违法性分析：

   • 根据《中华人民共和国公路法》及相关规定，公路建筑控制区是指为了保护公路、公路用地及公路附属设施的安全，在公路两侧一定范围内划定的禁止修建建筑物和地面构筑物的区域。在公路建筑控制区内进行挖掘、取土等行为，可能会危及公路的安全和畅通，因此是违法的。
   • 具体违法行为的认定和处罚，需依据相关法律法规的具体条款，如《公路法》第五十六条、第七十六条等，这些条款明确规定了禁止在公路建筑控制区内进行的行为以及相应的法律责任。

2. 执法证与逮捕权：

   • 执法证是执法人员依法执行公务时的身份证明和执法凭证，但它本身并不赋予执法人员逮捕的权力。逮捕是刑事诉讼中的一种强制措施，必须由公安机关依法进行，并遵循严格的法律程序。
   • 在发现公路建筑控制区内存在违法行为时，执法人员可以依法进行制止、调查取证，并视情况将案件移送公安机关处理。如果违法行为构成犯罪，公安机关将依法进行侦查、逮捕等刑事诉讼活动。

3. 建议与措施：

   • 如果您发现有人在公路建筑控制区内乱挖，首先可以尝试与对方沟通，告知其行为的违法性，并要求其停止违法行为。
   • 如果沟通无果，您可以向当地的公路管理部门或公安机关报案，提供相关证据和信息，以便相关部门依法进行处理。
   • 在处理过程中，您可以积极配合相关部门的调查工作，提供必要的协助和支持。

后续行动建议：

• 在遇到此类情况时，保持冷静，不要直接与违法行为人发生冲突。
• 及时收集并保存相关证据，如照片、视频等，以便后续维权或报案使用。
• 如有需要，您可以向我进一步咨询相关法律问题，我将根据您的具体情况提供更详细的法律建议。