您好，关于父母双方对未成年子女享有的监护权，这是一个涉及法律与家庭责任的重要问题。以下是我为您详细梳理的解答：
首先，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母是未成年子女的法定监护人，对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这一权利是法定的，不受父母之间婚姻关系解除的影响。也就是说，无论父母是否离婚，他们都是未成年子女的监护人，享有相应的监护权。
具体来说，父母的监护权包括以下几个方面：
人身监护权：父母有权保护未成年子女的人身安全，防止其受到侵害。这包括为子女提供必要的生活条件，如食物、住所、医疗等，以及确保子女在安全的环境中成长。
财产监护权：父母有权管理未成年子女的财产，确保其财产的安全和增值。在处理子女财产时，父母必须遵循最有利于子女的原则，不得滥用或侵占子女的财产。
教育监护权：父母有责任为未成年子女提供适当的教育，包括选择学校、辅导学习等。他们应关注子女的学业进展，鼓励其发展兴趣爱好，培养其成为有责任感、有能力的社会成员。
法律代理权：在未成年子女涉及法律事务时，父母有权作为其法定代理人进行代理。这包括处理子女的法律纠纷、签订合同等。
此外，关于监护权的变更或撤销，法律也有明确规定。例如，如果父母因犯罪、虐待等行为对子女造成明显不利影响，或者怠于履行监护职责导致子女处于危困状态，人民法院可以根据申请撤销其监护人资格，并依法指定新的监护人。
同时，需要特别指出的是，父母不能随意放弃对未成年子女的监护权。监护权是父母对子女应尽的法律责任和义务，除非父母死亡、丧失监护能力或被撤销监护资格，否则他们必须继续履行监护职责。当然，在特殊情况下，如父母有特殊困难无力抚养子女时，可以通过合法的收养程序将子女送养给他人，此时监护权会依法转移至收养人。
最后，关于夫妻离婚后监护权的问题，虽然抚养权可能会发生变化，但监护权并不会因婚姻的变化而发生改变。未与未成年子女共同生活的一方仍然拥有监护权，当对方不能抚养时仍可以利用监护权对未成年子女进行监管。
综上所述，父母双方对未成年子女享有全面的监护权，包括人身监护权、财产监护权、教育监护权和法律代理权等。这一权利是法定的，不受父母婚姻关系解除的影响。希望这个解答能够帮助您更好地理解父母的监护权问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。