核心结论：第三者的私生子作为非婚生子女，在法律上与婚生子女享有同等权利，可通过法定继承或遗嘱继承合法取得生父的财产和金钱，但需满足法定条件并履行相应程序。以下从继承权、继承方式、证据要求三个角度展开说明：

1. 继承权基础：非婚生子女与婚生子女权利平等

根据《中华人民共和国民法典》第1071条，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或个人不得加以危害和歧视。这意味着：

• 法律地位相同：私生子与生父的婚生子女在继承权上无差异，均有权继承生父的遗产；
• 权利范围：包括法定继承权、遗嘱继承权，以及要求生父履行抚养义务等。

2. 继承方式：法定继承与遗嘱继承

（1）法定继承

若生父未立遗嘱，私生子可通过法定继承取得财产：

• 继承顺序：私生子属于第一顺序继承人（与配偶、婚生子女、父母并列）；
• 份额分配：原则上与其他第一顺序继承人平分遗产，但若私生子生活有特殊困难或缺乏劳动能力，可适当多分；
• 程序要求：需通过法院确认亲子关系（若生父否认），或提供出生证明、生父书面认可等证据证明亲子关系。

（2）遗嘱继承

若生父立有遗嘱，私生子可按遗嘱内容继承财产：

• 遗嘱形式：遗嘱需符合法定形式（如自书遗嘱、公证遗嘱等），否则可能被认定无效；
• 遗嘱自由限制：遗嘱不得剥夺缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人的必要份额，否则该部分遗嘱无效。

3. 关键证据：证明亲子关系

私生子主张继承权的核心是证明与生父的亲子关系，常见证据包括：

• 出生证明：若出生证明上载明生父信息，可直接作为证据；
• 亲子鉴定：若生父否认亲子关系，可通过法院委托鉴定机构进行DNA鉴定；
• 其他证据：如生父的书面承认、共同生活照片、证人证言等辅助证明。

4. 注意事项

• 时效限制：继承权纠纷的诉讼时效为3年，自继承人知道或应当知道权利被侵害之日起计算；
• 道德风险：若私生子通过欺诈、胁迫等手段获取财产，可能面临法律追责；
• 财产范围：仅能继承生父的个人合法财产，夫妻共同财产中属于配偶的部分不可继承。

总结：私生子作为非婚生子女，在法律上享有与婚生子女同等的继承权，可通过法定继承或遗嘱继承取得生父财产，但需提供充分证据证明亲子关系。若您涉及具体案件或证据收集问题，可直接向我咨询，我将结合案件细节提供进一步分析。