结论概述：结合新闻背景，房主公开监控视频的行为是否合法，需从是否侵犯他人隐私权、肖像权及是否违反公序良俗等角度综合分析。一般情况下，若视频内容未过度暴露他人隐私，且公开目的是为了维护自身合法权益或揭露违法行为，可能不构成侵权；但若视频内容涉及他人隐私细节，或公开方式不当，则可能构成侵权。以下是对此问题的详细分析：
一、法律角度分析
隐私权保护：
- 法律规定：根据《中华人民共和国民法典》第一千零三十二条，自然人享有隐私权。任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。隐私是自然人的私人生活安宁和不愿为他人知晓的私密空间、私密活动、私密信息。
- 应用分析：在此事件中，女子带娃在房主门口排便的行为，虽然不文明且违反环境卫生管理规定，但这一行为本身并不直接构成对房主隐私权的侵犯。然而，若房主公开的监控视频中包含了女子或孩子的面部特征、身份信息等私密信息，且这些信息足以识别出具体个人，则可能构成对隐私权的侵犯。
肖像权保护：
- 法律规定：根据《中华人民共和国民法典》第一千零一十九条，任何组织或者个人不得以丑化、污损，或者利用信息技术手段伪造等方式侵害他人的肖像权。未经肖像权人同意，不得制作、使用、公开肖像权人的肖像，但是法律另有规定的除外。
- 应用分析：若房主公开的监控视频中清晰展示了女子或孩子的面部特征，且未经其同意，则可能构成对肖像权的侵犯。但需要注意的是，如果公开视频的目的是为了维护社会公共利益或揭露违法行为，且公开方式适当，可能不构成侵权。
公序良俗原则：
- 法律规定：根据《中华人民共和国民法典》第八条，民事主体从事民事活动，不得违反法律，不得违背公序良俗。
- 应用分析：房主公开监控视频的行为，若出于维护自身合法权益或揭露违法行为的正当目的，且公开方式适当，未过度侵犯他人权益，则可能符合公序良俗原则。但若公开行为出于恶意报复、侮辱或诽谤等不正当目的，则可能违反公序良俗原则。
二、新闻背景结合分析
- 在新闻背景中，房主公开监控视频的目的是为了揭露女子带娃在其门口排便的不文明行为，并表达对此行为的不满。从这一目的来看，房主的行为具有一定的正当性。
- 然而，房主在公开视频时，应谨慎处理视频内容，避免过度暴露女子或孩子的隐私信息。若视频内容仅展示了不文明行为本身，而未涉及具体个人的隐私信息，则可能不构成侵权。
- 另外，房主在公开视频后，面对对方家人的道歉和红包，选择了拒绝并继续公开视频。这一行为可能加剧了双方的矛盾，但从法律角度来看，房主有权选择是否接受道歉和赔偿，并有权继续维护自己的合法权益。
三、建议与启示
对于房主：
- 在公开监控视频前，应仔细审查视频内容，确保不侵犯他人隐私权和肖像权。
- 若公开视频的目的是为了揭露违法行为或维护自身合法权益，应选择适当的公开方式，避免过度侵犯他人权益。
- 面对对方家人的道歉和赔偿，可以理性对待，根据实际情况选择是否接受。
对于公众：
- 应尊重他人的隐私权和肖像权，不随意公开他人的私密信息或肖像。
- 在遇到类似不文明行为时，可以选择通过合法途径维护自己的权益，如向相关部门投诉或寻求法律帮助。
- 家长应加强对孩子的教育，引导孩子遵守公共文明规范，尊重他人的权益和公共环境。
对于类似情况的预防：
- 商铺、公厕等公共场所应加强管理，提供便捷的卫生设施和服务，减少类似不文明行为的发生。
- 社区可以加强宣传教育力度，提高居民的公共文明意识和社会责任感。
综上所述，房主公开监控视频的行为是否合法需从多个角度综合分析。在处理类似事件时，应谨慎处理视频内容，尊重他人的隐私权和肖像权，并选择适当的公开方式维护自己的合法权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。