未成年人第一次犯罪后能否开具无犯罪证明，需根据具体情况判断。以下是对此问题的详细分析：

一、一般原则与法律规定

1. 犯罪记录封存制度：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百八十六条，犯罪时不满十八周岁，被判处五年有期徒刑以下刑罚的，应当对相关犯罪记录予以封存。
   • 犯罪记录被封存的，不得向任何单位和个人提供，但司法机关为办案需要或者有关单位根据国家规定进行查询的除外。依法进行查询的单位，应当对被封存的犯罪记录的情况予以保密。

2. 无犯罪记录证明的定义：

   • 无犯罪记录证明是由公安机关或其他相关部门出具的一种证明文件，用于证实某人在一定时期内没有犯罪记录。它通常用于就业、就学、政审等场合，作为个人品行和信誉的重要参考。

二、具体情形分析

1. 犯罪时不满18周岁，被判处五年有期徒刑以下刑罚：

   • 可以开具无犯罪证明：在这种情况下，未成年人的犯罪记录会被封存，不对外公开。因此，他们可以开具无犯罪记录证明，因为封存后的犯罪记录在开具证明时不会显示。
   • 实际操作：申请时需携带身份证件至户籍地或居住地公安机关，若符合封存条件，公安机关应依法出具证明。

2. 犯罪时不满18周岁，但被判处五年有期徒刑以上刑罚：

   • 不能开具无犯罪证明：由于所犯罪行较为严重，这类未成年人的犯罪记录通常不会被封存或不满足封存条件。因此，在这种情况下，一般是不能开具无犯罪记录证明的。

3. 特殊情况的解除封存与开具条件：

   • 如果未成年人犯罪后经过一定期限和程序，其犯罪记录符合法定条件被解除封存，并且满足无犯罪证明的开具条件，那么在符合规定的情况下是可以开具无犯罪证明的。但这需要依据具体的法律规定和司法实践来确定。
   • 具体条件包括：发现漏罪并与封存记录之罪数罪并罚后被决定执行五年以上有期徒刑的，应当解除封存；因不满十六周岁不予刑事处罚的，相关部门应当依法对相关记录予以封存。

三、注意事项与建议

1. 地区差异：

   • 具体的规定和操作可能因地区而异，建议咨询当地公安机关以获取准确信息。

2. 犯罪记录的影响：

   • 即使犯罪记录被封存，也不能完全消除犯罪行为的存在和影响。在一些特定的场合和情况下，如就业、出国等，仍可能会受到一定的限制和考量。

3. 申请流程与救济途径：

   • 申请无犯罪记录证明时，如遇公安机关拒绝开具，可要求其书面说明理由。
   • 必要时，可通过行政复议或法律咨询等途径维护自身合法权益。

总结与建议：未成年人犯罪后能否开具无犯罪证明是一个复杂的问题，需要根据具体情况和当地法律法规来判断。如有需要，建议尽早咨询当地公安机关，以便了解详细的法律规定和操作流程，确保自身权益得到妥善保护。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。