结论：在酒驾行政拘留书下达但未执行期间受伤，是否可以申请不拘留，需根据具体情况来判断，一般情况下，若受伤情况严重到影响拘留执行，可向公安机关提出暂缓执行或停止执行的申请。以下从不同角度进行分析：
一、法律程序与规定
行政拘留的执行：
- 行政拘留是一种行政处罚措施，一旦决定执行，通常应按照法定程序进行。然而，法律也规定了某些情况下可以暂缓执行或停止执行行政拘留。
暂缓执行或停止执行的条件：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》及相关规定，如果被处罚人因健康原因（如严重疾病、生活不能自理等）无法执行拘留，或者存在其他特殊情况（如怀孕、哺乳自己不满一周岁婴儿等），可以向公安机关提出暂缓执行或停止执行的申请。
- 在您的情况下，如果受伤严重到影响拘留执行（如需要长期住院治疗、生活不能自理等），可以尝试向公安机关提出相关申请。
二、实际操作与建议
及时沟通：
- 在收到行政拘留书后，如果因受伤无法执行拘留，应尽快与作出处罚决定的公安机关沟通，说明情况并提供相关医疗证明。
提交申请与证明材料：
- 向公安机关提交书面申请，详细说明受伤情况、治疗需求以及无法执行拘留的原因。
- 附上医疗机构的诊断证明、住院证明等相关材料，以支持您的申请。
等待审查与决定：
- 公安机关会对您的申请进行审查，并根据实际情况作出决定。如果决定暂缓执行或停止执行拘留，会出具相应的法律文书。
三、可能面临的法律后果
如果申请被批准：
- 您将暂时或永久免于执行行政拘留。但需注意，这并不意味着您完全免除了法律责任，只是暂时或永久免除了拘留这一处罚措施。
如果申请被拒绝：
- 您仍需按照行政拘留书的决定执行拘留。如果拒绝执行，可能会面临更严重的法律后果，如强制执行、加处罚款等。
四、特殊情况考虑
如果受伤是由于酒驾行为直接导致的：
- 这可能会影响公安机关对您申请的态度。因为酒驾是违法行为，且您因违法行为受伤，公安机关可能会认为您应承担相应的法律责任。
如果受伤与酒驾行为无直接关联：
- 如因其他意外事件受伤，且伤势严重到影响拘留执行，公安机关可能会更倾向于批准您的申请。
最后建议：在处理此类问题时，务必保持与公安机关的沟通畅通，及时提供相关证明材料，并遵循法律程序进行申请。如果您对具体法律程序或规定有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。