结论：偷窃被判处拘役，是会留下案底的。

详细解释：

1. 案底的定义与性质：

   • 案底，通常指的是某人过去犯罪行为的记录，也被称为犯罪人员犯罪记录制度。在我国法律体系中，这特指有过刑事犯罪前科的档案记录，该记录由公安部门保存。
   • 拘役作为我国刑法规定的主刑之一，是对犯罪分子进行短期剥夺人身自由，并就近实行劳动改造的刑罚方法。因此，一旦因偷窃行为被判处拘役，就意味着该行为已经构成了犯罪，并被依法追究了刑事责任，相关的犯罪信息会被记录在案，形成案底。

2. 案底的影响：

   • 就业方面：拥有案底的人可能会受到某些职业的限制。例如，公务员、法官、检察官、律师等特定职业，在招聘过程中通常会对应聘者的犯罪记录进行严格审查。存在案底的人可能无法通过这些职业的入职审查，从而失去从事这些职业的机会。
   • 出国办理签证：部分国家可能会因为申请人有犯罪记录而拒绝签证申请，这对于希望出国留学、旅游或商务活动的人来说，无疑是一个重大的障碍。
   • 社会评价：案底的存在还可能影响个人的社会评价，导致在社交、婚姻等方面受到不利影响。

3. 法律后果的持续性：

   • 案底是永久性的，不能消除，并将对个人产生多方面的影响。这意味着，一旦因偷窃被判处拘役并留下案底，这一记录将伴随个人终生，无法通过任何方式抹去。

法律建议：

• 鉴于案底对个人未来的深远影响，我强烈建议公众增强法律意识，遵守法律法规，避免走上违法犯罪的道路。
• 如果已经因偷窃等行为面临法律纠纷，应积极配合司法机关的调查和处理，争取从轻或减轻处罚。同时，也可以考虑咨询专业律师，了解自己的法律权利和义务，以及可能的法律后果和应对策略。

特殊情况说明：

• 如果偷窃行为未达到刑事犯罪的标准，而是被处以行政拘留等行政处罚，那么这种情况通常不会留下案底。但行政拘留的记录仍然会在公安部门保存一段时间，并可能对个人产生一定的影响，如影响个人信用等。不过，这种影响与刑事案底相比要小得多。

如有更多关于偷窃辩护或刑事案件的法律问题，可以直接向我咨询。