结论：被执行人不履行支付600元的义务，且名下与其他人有多个执行案件，一般情况下并不直接构成刑事犯罪，但在特定情形下，如构成“拒不执行判决、裁定罪”，则可能追究刑事责任。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况下的民事责任
民事执行程序：
- 当被执行人不履行生效法律文书确定的支付义务时，申请执行人可以向法院申请强制执行。
- 法院会依法对被执行人的财产进行查封、扣押、冻结等措施，以强制其履行义务。
- 如果被执行人名下财产不足以清偿所有债务，或者存在多个执行案件，法院会按照法定顺序和比例进行分配。
不构成刑事犯罪：
- 单纯的不履行支付义务，即使涉及多个执行案件，也通常被视为民事纠纷，不构成刑事犯罪。
- 申请执行人可以通过民事执行程序来维护自己的权益，如申请强制执行、参与分配等。
二、特定情形下的刑事责任
拒不执行判决、裁定罪：
- 如果被执行人有能力执行而拒不执行，且情节严重，如隐藏、转移、变卖财产，或者暴力抗拒执行等，可能构成“拒不执行判决、裁定罪”。
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
构成要件：
- 有能力执行：被执行人拥有足够的财产或收入来履行支付义务。
- 拒不执行：被执行人明确表示不履行或通过行为表明不履行支付义务。
- 情节严重：如隐藏、转移财产，暴力抗拒执行，或者造成严重后果等。
刑事责任追究：
- 如果申请执行人认为被执行人构成“拒不执行判决、裁定罪”，可以向公安机关报案。
- 公安机关会进行调查取证，如果认为构成犯罪，会移送检察机关审查起诉。
- 检察机关审查后，如果认为证据充分，会向法院提起公诉，由法院进行审判。
三、建议与措施
申请强制执行：
- 申请执行人应尽快向法院申请强制执行，并提供被执行人的财产线索。
- 法院会依法对被执行人的财产进行查封、扣押、冻结等措施。
参与分配：
- 如果被执行人名下财产不足以清偿所有债务，申请执行人可以申请参与分配。
- 法院会按照法定顺序和比例对被执行人的财产进行分配。
收集证据：
- 如果申请执行人认为被执行人构成“拒不执行判决、裁定罪”，应积极收集相关证据。
- 证据可以包括被执行人的财产状况、拒不执行的证据、造成的后果等。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂案件时，建议申请执行人咨询专业律师（即向我咨询），以获取更具体的法律建议和帮助。
四、注意事项
- 在追究刑事责任时，必须确保被执行人的行为符合“拒不执行判决、裁定罪”的构成要件。
- 刑事责任的追究需要公安机关、检察机关和法院的共同参与，程序相对复杂且耗时较长。
- 申请执行人在维护自己权益的同时，也应遵守法律法规，不得采取非法手段进行逼债或报复。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。